Строго сингулярный оператор

В функциональном анализе , разделе математики , строго сингулярный оператор — это ограниченный линейный оператор между нормированными пространствами, который не ограничен снизу ни в каком бесконечномерном подпространстве.

Пусть X и Y — нормированные линейные пространства , и обозначим через B(X,Y) пространство ограниченных операторов вида . Пусть — любое подмножество. Мы говорим, что T ограничено снизу на всякий раз, когда существует константа такая, что для всех выполняется неравенство . Если A=X , мы просто говорим, что T ограничено снизу .${\displaystyle T:X\to Y}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle А}$${\displaystyle c\in (0,\infty )}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle \|Tx\|\geq c\|x\|}$

Теперь предположим, что X и Y — банаховы пространства, и пусть и обозначают соответствующие операторы тождества. Оператор называется несущественным, если является оператором Фредгольма для каждого . Эквивалентно, T несущественен тогда и только тогда, когда является оператором Фредгольма для каждого . Обозначим через множество всех несущественных операторов в .${\displaystyle Id_{X}\in B(X)}$${\displaystyle Id_{Y}\in B(Y)}$${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle Id_{X}-ST}$${\displaystyle S\in B(Y,X)}$${\displaystyle Id_{Y}-TS}$${\displaystyle S\in B(Y,X)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$

Оператор называется строго сингулярным , если он не ограничен снизу ни на каком бесконечномерном подпространстве X . Обозначим через множество всех строго сингулярных операторов в . Мы говорим, что является конечно строго сингулярным , если для каждого существует такое, что для каждого подпространства E из X, удовлетворяющего , существует такое, что . Обозначим через множество всех конечно строго сингулярных операторов в .${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\text{dim}}(E)\geq n}$${\displaystyle x\in E}$${\displaystyle \|Tx\|<\epsilon \|x\|}$${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$${\displaystyle B(X,Y)}$

Пусть обозначает замкнутый единичный шар в X. Оператор компактен , если является относительно компактным по норме подмножеством Y , и обозначает множество всех таких компактных операторов.${\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}}$${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle TB_{X}=\{Tx:x\in B_{X}\}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$

Строго сингулярные операторы можно рассматривать как обобщение компактных операторов , поскольку каждый компактный оператор является строго сингулярным. Эти два класса имеют некоторые общие важные свойства. Например, если X — банахово пространство , а T — строго сингулярный оператор в B(X), то его спектр удовлетворяет следующим свойствам: (i) мощность не более чем счетна; (ii) (за исключением, возможно, тривиального случая, когда X конечномерно); (iii) ноль является единственной возможной предельной точкой ; и (iv) каждое ненулевое значение является собственным значением. Эта же «спектральная теорема», состоящая из (i)-(iv), выполняется для несущественных операторов в B(X) .${\displaystyle \сигма (Т)}$${\displaystyle \сигма (Т)}$${\displaystyle 0\in \сигма (T)}$${\displaystyle \сигма (Т)}$${\displaystyle \лямбда \in \сигма (T)}$

Классы , , , и все образуют замкнутые по норме операторные идеалы . Это означает, что всякий раз, когда X и Y являются банаховыми пространствами, компонентные пространства , , , и являются замкнутыми подпространствами (в операторной норме) B(X,Y) , такими, что классы инвариантны относительно композиции с произвольными ограниченными линейными операторами.${\displaystyle {\mathcal {K}}}$${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {FSS}}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}(X,Y)}$${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,Y)}$

В общем случае мы имеем , и каждое из включений может быть или не быть строгим, в зависимости от выбора X и Y .${\displaystyle {\mathcal {K}}(X,Y)\subset {\mathcal {FSS}}(X,Y)\subset {\mathcal {SS}}(X,Y)\subset {\mathcal {E}}(X,Y)}$

Каждое ограниченное линейное отображение , для , является строго сингулярным. Здесь и являются пространствами последовательностей . Аналогично, каждое ограниченное линейное отображение и , для , является строго сингулярным. Здесь является банаховым пространством последовательностей, сходящихся к нулю. Это следствие теоремы Питта, которая утверждает, что такие T , для q  <  p , являются компактными.${\displaystyle T:\ell _{p}\to \ell _{q}}$${\displaystyle 1\leq q,p<\infty }$${\displaystyle p\neq q}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle \ell _{q}}$${\displaystyle T:c_{0}\to \ell _{p}}$${\displaystyle T:\ell _{p}\to c_{0}}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle c_{0}}$

Если то формальный тождественный оператор конечно строго сингулярен, но не компактен. Если то существуют «операторы Пелчинского», в которых равномерно ограничены снизу на копиях , , и, следовательно, являются строго сингулярными, но не конечно строго сингулярными. В этом случае мы имеем . Однако каждый несущественный оператор с областью определения строго сингулярен, так что . С другой стороны, если X — любое сепарабельное банахово пространство, то существует ограниченный снизу оператор, любой из которых несуществен, но не строго сингулярен. Таким образом, в частности, для всех .${\displaystyle 1\leq p<q<\infty }$${\displaystyle I_{p,q}\in B(\ell _{p},\ell _{q})}$${\displaystyle 1<p<q<\infty }$${\displaystyle B(\ell _{p},\ell _{q})}$${\displaystyle \ell _{2}^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{q})\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})}$${\displaystyle \ell _{q}}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{q})={\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{q})}$${\displaystyle T\in B(X,\ell _{\infty })}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {FSS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {SS}}(\ell _{p},\ell _{\infty })\subsetneq {\mathcal {E}}(\ell _{p},\ell _{\infty })}$${\displaystyle 1<p<\infty }$

Компактные операторы образуют симметричный идеал , что означает тогда и только тогда, когда . Однако это не так для классов , , или . Для установления отношений двойственности введем дополнительные классы.${\displaystyle T\in {\mathcal {K}}(X,Y)}$${\displaystyle T^{*}\in {\mathcal {K}}(Y^{*},X^{*})}$${\displaystyle {\mathcal {FSS}}}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Если Z — замкнутое подпространство банахова пространства Y , то существует «каноническая» сюръекция, определяемая с помощью естественного отображения . Оператор называется строго косингулярным , если задано бесконечномерное замкнутое подпространство Z пространства Y , отображение не является сюръективным. Обозначим через подпространство строго косингулярных операторов в B(X,Y) .${\displaystyle Q_{Z}:Y\to Y/Z}$${\displaystyle y\mapsto y+Z}$${\displaystyle T\in B(X,Y)}$${\displaystyle Q_{Z}T}$${\displaystyle {\mathcal {SCS}}(X,Y)}$

Теорема 1. Пусть X и Y — банаховы пространства, и пусть . Если T* строго сингулярно (соответственно строго косингулярно), то T строго косингулярно (соответственно строго сингулярно).${\displaystyle T\in B(X,Y)}$

Обратите внимание, что существуют примеры строго сингулярных операторов, сопряженные операторы которых не являются ни строго сингулярными, ни строго косингулярными (см. Пличко, 2004). Аналогично существуют строго косингулярные операторы, сопряженные операторы которых не являются строго сингулярными, например, отображение включения . Поэтому не находится в полной двойственности с .${\displaystyle I:c_{0}\to \ell _{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {SS}}}$${\displaystyle {\mathcal {SCS}}}$

Теорема 2. Пусть X и Y — банаховы пространства, и пусть . Если T* несущественно, то и T несущественен .${\displaystyle T\in B(X,Y)}$

Айена, Пьетро, ​​Фредгольм и локальная спектральная теория с приложениями к множителям (2004), ISBN  1-4020-1830-4 .

Пличко, Анатолий, «Суперстрого сингулярные и суперстрого косингулярные операторы», North-Holland Mathematics Studies 197 (2004), стр. 239-255.

Эта статья, связанная с математическим анализом , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• v
• t
• e