Странное расщепление

В прикладной математике расщепление Стрэнга — численный метод решения дифференциальных уравнений , которые разлагаются в сумму дифференциальных операторов. Он назван в честь Гилберта Стрэнга . Он используется для ускорения вычислений в задачах, включающих операторы в очень разных временных масштабах, например, химических реакций в динамике жидкостей, а также для решения многомерных уравнений в частных производных путем сведения их к сумме одномерных задач.

В качестве предшественника расщепления Стрэнга рассмотрим дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle {\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})+L_{2}({y})}$

где , являются дифференциальными операторами . Если бы и были постоянными матрицами коэффициентов, то точное решение связанной задачи начального значения было бы${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle y(t)=e^{(L_{1}+L_{2})t}y_{0}}$.

Если и коммутируют, то по экспоненциальным законам это эквивалентно${\displaystyle L_{1}}$${\displaystyle L_{2}}$

${\displaystyle y(t)=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}}$.

Если это не так, то по формуле Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа все еще возможно заменить экспоненту суммы произведением экспонент ценой ошибки второго порядка:

${\displaystyle e^{(L_{1}+L_{2})t}y_{0}=e^{L_{1}t}e^{L_{2}t}y_{0}+{\mathcal {O}}(т^{2})}$.

Это приводит к численной схеме, в которой вместо решения исходной начальной задачи решаются обе подзадачи попеременно:

${\displaystyle {\tilde {y}}_{1}=e^{L_{1}\Delta t}y_{0}}$

${\displaystyle y_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{1}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}_{2}=e^{L_{1}\Delta t}y_{1}}$

${\displaystyle y_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{2}}$

и т. д.

В этом контексте, является ли численная схема решения подзадачи${\displaystyle е^{L_{1}\Delta t}}$

${\displaystyle {\frac {d{y}}{dt}}=L_{1}({y})}$

до первого порядка. Подход не ограничивается линейными задачами, то есть может быть любым дифференциальным оператором.${\displaystyle L_{1}}$

Разделение Стрэнга расширяет этот подход до второго порядка, выбирая другой порядок операций. Вместо того, чтобы делать полные временные шаги с каждым оператором, вместо этого выполняются временные шаги следующим образом:

${\displaystyle {\tilde {y}}_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{0}}$

${\displaystyle {\bar {y}}_{1}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{1}}$

${\displaystyle y_{1}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{1}}$

${\displaystyle {\tilde {y}}_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}y_{1}}$

${\displaystyle {\bar {y}}_{2}=e^{L_{2}\Delta t}{\tilde {y}}_{2}}$

${\displaystyle y_{2}=e^{L_{1}{\frac {\Delta t}{2}}}{\bar {y}}_{2}}$

и т. д.

Можно доказать, что расщепление Стрэнга является вторым порядком, используя либо формулу Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, анализ корневого дерева или прямое сравнение членов ошибки с использованием разложения Тейлора. Чтобы схема была точной второго порядка, должно быть также приближение второго порядка к оператору решения.${\displaystyle e^{\cdots}}$

• Список тем по разделению операторов
• Матричное расщепление

• Стрэнг, Гилберт. О построении и сравнении разностных схем . Журнал SIAM по численному анализу 5.3 (1968): 506–517. doi :10.1137/0705041
• Маклахлан, Роберт И. и Г. Рейнаут В. Квиспель. Методы разделения. Acta Numerica 11 (2002): 341–434. дои : 10.1017/S0962492902000053
• LeVeque, Randall J. , Методы конечных объемов для гиперболических задач. Том 31. Cambridge University Press, 2002. (pbk ISBN 0-521-00924-3 )