Теорема Штольца–Чезаро

В математике теорема Штольца–Чезаро — критерий доказательства сходимости последовательности . Она названа в честь математиков Отто Штольца и Эрнесто Чезаро , которые впервые сформулировали и доказали её.

Теорему Штольца–Чезаро можно рассматривать как обобщение среднего значения Чезаро , а также как правило Лопиталя для последовательностей.

Пусть и — две последовательности действительных чисел . Предположим, что — строго монотонная и расходящаяся последовательность (т.е. строго возрастающая и приближающаяся к , или строго убывающая и приближающаяся к ) и существует следующий предел :${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l.\ }$

Тогда предел

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$

Пусть и будут двумя последовательностями действительных чисел . Предположим теперь, что и при этом строго убывает . Если ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (a_{n})\to 0}$${\displaystyle (b_{n})\to 0}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=l,\ }$

затем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=l.\ }$^[1]

Случай 1: предположим, что строго возрастает и расходится к , и . По гипотезе имеем, что для всех существует такое, что${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle +\infty}$${\displaystyle -\infty <l<\infty }$${\displaystyle \epsilon /2>0}$${\displaystyle \nu >0}$${\displaystyle \forall n>\nu }$

${\displaystyle \left|\,{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}-l\,\right|<{\frac {\epsilon }{2}},}$

то есть сказать

${\displaystyle l-\epsilon /2<{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}<l+\epsilon /2,\quad \forall n>\nu .}$

Так как строго возрастает, и справедливо следующее${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}>0}$

${\displaystyle (l-\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n})<a_{n+1}-a_{n}<(l+\epsilon /2)(b_{n+1}-b_{n}),\quad \forall n>\nu }$.

Далее мы замечаем, что

${\displaystyle a_{n}=[(a_{n}-a_{n-1})+\dots +(a_{\nu +2}-a_{\nu +1})]+a_{\nu + 1}}$

Таким образом, применяя указанное выше неравенство к каждому из членов в квадратных скобках, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon/2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}=(l-\epsilon /2)[ (b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_{\nu +1})]+a_{\nu +1}<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n-1})+\dots +(b_{\nu +2}-b_ {\nu +1})]+a_{\nu +1}=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1}.\end{aligned}}}$

Теперь, поскольку , то существует такое , что для всех , и мы можем разделить два неравенства на для всех${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle n_{0}>0}$${\displaystyle b_{n}>0}$${\displaystyle n>n_{0}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle n>\max\{\nu,n_{0}\}}$

${\displaystyle (l-\epsilon/2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l-\epsilon/2)}{b_{n}}}<{\ frac {a_{n}}{b_{n}}}<(l+\epsilon /2)+{\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l+\epsilon /2)}{b_{n}}}.}$

Две последовательности (которые определены только для , поскольку может быть такое , что ) ${\displaystyle n>n_{0}}$${\displaystyle N\leq n_{0}}$${\displaystyle b_{N}=0}$

${\displaystyle c_{n}^{\pm }:={\frac {a_{\nu +1}-b_{\nu +1}(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}} }$

бесконечно малы, так как и числитель является постоянным числом, следовательно, для всех существует , такой что${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$${\displaystyle \epsilon /2>0}$${\displaystyle n_{\pm }>n_{0}>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{n}^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{+},\\&|c_{n}^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall n>n_{-},\end{aligned}}}$

поэтому

${\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{n}^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{n}^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>\max \lbrace \nu ,n_{\pm }\rbrace =:N>0,}$

что завершает доказательство. Случай со строго убывающим и расходящимся к , и аналогичен.${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle l<\infty }$

Случай 2: мы предполагаем строго возрастающим и расходящимся к , и . Действуя как и прежде, для всех существует такое, что для всех${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle l=+\infty }$${\displaystyle 2M>0}$${\displaystyle \nu >0}$${\displaystyle n>\nu }$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M.}$

Опять же, применяя приведенное выше неравенство к каждому из членов внутри квадратных скобок, получаем

${\displaystyle a_{n}>2M(b_{n}-b_{\nu +1})+a_{\nu +1},\quad \forall n>\nu ,}$

и

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}},\quad \forall n>\max\{\nu ,n_{0}\}.}$

Последовательность, определяемая${\displaystyle (c_{n})_{n>n_{0}}}$

${\displaystyle c_{n}:={\frac {a_{\nu +1}-2Mb_{\nu +1}}{b_{n}}}}$

бесконечно мала, поэтому

${\displaystyle \forall M>0\,\exists {\bar {n}}>n_{0}>0{\text{ such that }}-M<c_{n}<M,\,\forall n>{\bar {n}},}$

Объединяя это неравенство с предыдущим, заключаем

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{n}>M,\quad \forall n>\max\{\nu ,{\bar {n}}\}=:N.}$

Доказательства остальных случаев со строго возрастающим или убывающим и приближающимся или соответственно и все происходят таким же образом.${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle l=\pm \infty }$

Случай 1: сначала рассмотрим случай с и строго убывающим. На этот раз для каждого можно записать${\displaystyle l<\infty }$${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle a_{n}=(a_{n}-a_{n+1})+\dots +(a_{n+\nu -1}-a_{n+\nu })+a_{n+\nu },}$

и для любого такого, что для всех мы имеем${\displaystyle \epsilon /2>0,}$ ${\displaystyle \exists n_{0}}$${\displaystyle n>n_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&(l-\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }=(l-\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }<a_{n}\\&a_{n}<(l+\epsilon /2)[(b_{n}-b_{n+1})+\dots +(b_{n+\nu -1}-b_{n+\nu })]+a_{n+\nu }=(l+\epsilon /2)(b_{n}-b_{n+\nu })+a_{n+\nu }.\end{aligned}}}$

Две последовательности

${\displaystyle c_{\nu }^{\pm }:={\frac {a_{n+\nu }-b_{n+\nu }(l\pm \epsilon /2)}{b_{n}}}}$

бесконечно малы, так как по гипотезе , поэтому для всех существуют такие, что ${\displaystyle a_{n+\nu },b_{n+\nu }\to 0}$${\displaystyle \nu \to \infty }$${\displaystyle \epsilon /2>0}$${\displaystyle \nu _{\pm }>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|c_{\nu }^{+}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{+},\\&|c_{\nu }^{-}|<\epsilon /2,\quad \forall \nu >\nu _{-},\end{aligned}}}$

таким образом, выбирая соответствующим образом (то есть, взяв предел по ), мы получаем${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle l-\epsilon <l-\epsilon /2+c_{\nu }^{-}<{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l+\epsilon /2+c_{\nu }^{+}<l+\epsilon ,\quad \forall n>n_{0}}$

что завершает доказательство.

Случай 2: предполагаем и строго убывающее. Для всех существует такое, что для всех${\displaystyle l=+\infty }$${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle 2M>0}$${\displaystyle n_{0}>0}$${\displaystyle n>n_{0},}$

${\displaystyle {\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}>2M\implies a_{n}-a_{n+1}>2M(b_{n}-b_{n+1}).}$

Поэтому для каждого${\displaystyle \nu >0,}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+{\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}},\quad \forall n>n_{0}.}$

Последовательность

${\displaystyle c_{\nu }:={\frac {a_{n+\nu }-2Mb_{n+\nu }}{b_{n}}}}$

сходится к (сохраняя фиксированным). Следовательно ${\displaystyle 0}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \forall M>0\,~\exists {\bar {\nu }}>0}$такой что${\displaystyle -M<c_{\nu }<M,\,\forall \nu >{\bar {\nu }},}$

и, выбрав удобно, мы завершаем доказательство${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}>2M+c_{\nu }>M,\quad \forall n>n_{0}.}$

Теорема, касающаяся случая ∞/∞, имеет несколько примечательных следствий, которые полезны при вычислении пределов.

Пусть будет последовательностью действительных чисел, которая сходится к , определим${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle a_{n}:=\sum _{m=1}^{n}x_{m}=x_{1}+\dots +x_{n},\quad b_{n}:=n}$

то строго возрастает и расходится к . Вычисляем${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle +\infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n+1}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=l}$

поэтому

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}$

Предположим, что дана любая последовательность действительных чисел.${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$

существует (конечное или бесконечное), то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}$

Пусть будет последовательностью положительных действительных чисел, сходящейся к и определим${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle a_{n}:=\log(x_{1}\cdots x_{n}),\quad b_{n}:=n,}$

снова мы вычисляем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}{\frac {x_{1}\cdots x_{n+1}}{x_{1}\cdots x_{n}}}{\Big )}=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n+1})=\lim _{n\to \infty }\log(x_{n})=\log(l),}$

где мы использовали тот факт, что логарифм непрерывен. Таким образом,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log(x_{1}\cdots x_{n})}{n}}=\lim _{n\to \infty }\log {\Big (}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}{\Big )}=\log(l),}$

поскольку логарифм является как непрерывным, так и инъективным, мы можем заключить, что

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$.

Предположим, что для любой последовательности (строго) положительных действительных чисел${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$

существует (конечное или бесконечное), то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}.}$

Предположим, нам дана последовательность и нас просят вычислить ${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},}$

определяем и получаем${\displaystyle y_{0}=1}$${\displaystyle x_{n}=y_{n}/y_{n-1}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {y_{1}\dots y_{n}}{y_{0}\cdot y_{1}\dots y_{n-1}}}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}},}$

если мы применим свойство выше

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }x_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n}}{y_{n-1}}}.}$

Последняя форма обычно наиболее полезна для вычисления пределов.

Предположим, что для любой последовательности (строго) положительных действительных чисел${\displaystyle (y_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}}$

существует (конечное или бесконечное), то

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{y_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {y_{n+1}}{y_{n}}}.}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }{\frac {\sqrt[{n}]{n!}}{n}}&=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)!(n^{n})}{n!(n+1)^{n+1}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{n}}{(n+1)^{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{(1+{\frac {1}{n}})^{n}}}={\frac {1}{e}}\end{aligned}}}$

где мы использовали представление как предела последовательности .${\displaystyle e}$

Случай ∞/∞ изложен и доказан на страницах 173—175 книги Штольца 1885 года, а также на странице 54 статьи Чезаро 1888 года.

Она появляется как задача 70 у Полиа и Сегё (1925).

Общая форма теоремы Штольца–Чезаро такова: ^[2] Если и — две последовательности такие, что является монотонной и неограниченной, то:${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}.}$

Вместо доказательства предыдущего утверждения мы докажем немного иное; сначала введем обозначение: пусть — любая последовательность, ее частичная сумма будет обозначаться как . Эквивалентное утверждение, которое мы докажем, имеет вид:${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle A_{n}:=\sum _{m\geq 1}^{n}a_{m}}$

Пусть будут любые две последовательности действительных чисел такие, что${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1},(b_{n})_{\geq 1}}$

• ${\displaystyle b_{n}>0,\quad \forall n\in {\mathbb {Z} }_{>0}}$,
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}=+\infty }$,

затем

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}.}$

Сначала мы замечаем, что:

• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$выполняется по определению верхнего предела и нижнего предела ;
• ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\leq \liminf _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}}$выполняется тогда и только тогда, когда, поскольку для любой последовательности .${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{n})}$${\displaystyle (x_{n})_{n\geq 1}}$

Поэтому нам нужно только показать, что . Если доказывать нечего, то можно предположить (оно может быть либо конечным, либо ). По определению , для всех существует натуральное число такое, что${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$${\displaystyle L:=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=+\infty }$${\displaystyle L<+\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \limsup }$${\displaystyle l>L}$${\displaystyle \nu >0}$

${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}<l,\quad \forall n>\nu .}$

Мы можем использовать это неравенство, чтобы записать

${\displaystyle A_{n}=A_{\nu }+a_{\nu +1}+\dots +a_{n}<A_{\nu }+l(B_{n}-B_{\nu }),\quad \forall n>\nu ,}$

Поскольку , у нас также есть и мы можем разделить на , чтобы получить${\displaystyle b_{n}>0}$${\displaystyle B_{n}>0}$${\displaystyle B_{n}}$

${\displaystyle {\frac {A_{n}}{B_{n}}}<{\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}+l,\quad \forall n>\nu .}$

Так как , то последовательность${\displaystyle B_{n}\to +\infty }$${\displaystyle n\to +\infty }$

${\displaystyle {\frac {A_{\nu }-lB_{\nu }}{B_{n}}}\to 0{\text{ as }}n\to +\infty {\text{ (keeping }}\nu {\text{ fixed)}},}$

и мы получаем

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq l,\quad \forall l>L,}$

По определению наименьшей верхней границы это как раз означает, что

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {A_{n}}{B_{n}}}\leq L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}},}$

и мы закончили.

Теперь возьмем, как в формулировке общей формы теоремы Штольца-Чезаро, и определим${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})}$

${\displaystyle \alpha _{1}=a_{1},\alpha _{k}=a_{k}-a_{k-1},\,\forall k>1\quad \beta _{1}=b_{1},\beta _{k}=b_{k}-b_{k-1}\,\forall k>1}$

так как является строго монотонным (например, можно предположить, что строго возрастает), для всех и так как также , то мы можем применить теорему, которую мы только что доказали (и их частичные суммы )${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle \beta _{n}>0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b_{n}\to +\infty }$${\displaystyle \mathrm {B} _{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+\dots +(b_{n}-b_{n-1})=b_{n}\to +\infty }$${\displaystyle (\alpha _{n}),(\beta _{n})}$${\displaystyle (\mathrm {A} _{n}),(\mathrm {B} _{n})}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\mathrm {A} _{n}}{\mathrm {B} _{n}}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\frac {\alpha _{n}}{\beta _{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}},}$

именно это мы и хотели доказать.

• Мурешан, Мариан (2008), Конкретный подход к классическому анализу, Берлин: Springer, стр.  85–88 , ISBN 978-0-387-78932-3.
• Штольц, Отто (1885), Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten, Лейпциг: Teubners, стр.  173–175 ..
• Чезаро, Эрнесто (1888), «Свержение серий», Nouvelles annales de mathématiques , Серии 3, 7 : 49–59.
• Полиа, Джордж ; Сегё, Габор (1925), Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis , vol. Я, Берлин: Шпрингер.
• ADR Choudary, Constantin Niculescu: Реальный анализ на интервалах . Springer, 2014, ISBN 9788132221487 , стр. 59-62 
• J. Marshall Ash, Allan Berele, Stefan Catoiu: Правдоподобные и подлинные расширения правила Лопиталя . Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1 (февраль 2012), стр. 52–60 (JSTOR)

• Правило Лопиталя и теорема Штольца-Чезаро на imomath.com
• Доказательство теоремы Штольца–Чезаро на PlanetMath .

В данной статье использованы материалы теоремы Штольца-Чезаро из PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .