преобразование Стерлинга

В комбинаторной математике преобразование Стирлинга последовательности { a n _:  n = 1, 2, 3, ...} чисел — это последовательность { b _n  : n = 1, 2 , 3, ...}, заданная формулой

${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}a_{k}}$,

где — число Стирлинга второго рода , представляющее собой число разбиений множества размера на части. Это преобразование линейной последовательности .${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle к}$

Обратное преобразование:

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{nk}\left[{n \atop k}\right]b_{k}}$,

где — знаковое число Стирлинга первого рода , а беззнаковое можно определить как число перестановок элементов с циклами.${\textstyle (-1)^{nk}\left[{n \atop k}\right]}$${\displaystyle \left[{n \atop k}\right]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle к}$

Берштейн и Слоан (цитируемые ниже) утверждают: «Если a _n — это число объектов в некотором классе с точками, помеченными как 1, 2, ..., n (при этом все метки различны, т. е. обычные помеченные структуры), то b _n — это число объектов с точками, помеченными как 1, 2, ..., n (с допустимыми повторениями)».

Если

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}x^{n}}$

является формальным степенным рядом , и

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n} \over n!}x^{n}}$

с a _n и b _n как указано выше, тогда

${\displaystyle g(x)=f(e^{x}-1)}$.

Аналогично, обратное преобразование приводит к тождеству производящей функции

${\displaystyle f(x)=g(\log(1+x))}$.

• Биномиальное преобразование
• Производящая функция преобразования
• Список тем по факториалу и биному

• Бернстайн, М.; Слоан, NJA (1995). «Некоторые канонические последовательности целых чисел». Линейная алгебра и ее приложения . 226/228: 57– 72. arXiv : math/0205301 . doi :10.1016/0024-3795(94)00245-9. S2CID  14672360..
• Христо Н. Бояджиев, Заметки о биномиальном преобразовании, теория и таблица, с приложением о преобразовании Стирлинга (2018), World Scientific.