Шаг потенциала

Часть серии статей о
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\Psi \rangle ={\hat {H}}|\Psi \rangle }$ Уравнение Шредингера
Введение Глоссарий История
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение скобок Гамильтониан Вмешательство
Основы Взаимодополняемость Декогеренция Запутанность Уровень энергии Измерение Нелокальность Квантовое число Состояние Суперпозиция Симметрия Туннелирование Неопределенность Волновая функция Крах
Эксперименты Неравенство Белла неравенство CHSH Дэвиссон–Гермер Двойной щелевой Элицур–Вайдман Франк–Герц неравенство Леггетта Неравенство Леггетта–Гарга Маха–Цендера Поппер Квантовый ластик Отложенный выбор Кот Шредингера Штерн–Герлах Отложенный выбор Уиллера
Формулировки Обзор Гейзенберг Взаимодействие Матрица Фазовое пространство Шредингер Суммирование по историям (интеграл по траектории)
Уравнения Дирак Клейн–Гордон Паули Рюдберг Шредингер
Интерпретации байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройля–Бома Ансамбль Скрытая переменная Местный Супердетерминизм Множество миров Цель-коллапс Квантовая логика Относительный Транзакционный Фон Нейман–Вигнер
Продвинутые темы Релятивистская квантовая механика Квантовая теория поля Квантовая информатика Квантовые вычисления Квантовый хаос ЭПР-парадокс Матрица плотности Теория рассеяния Квантовая статистическая механика Квантовое машинное обучение
Ученые Ахаронов Белл Бете Блэкетт Блох Бом Бор Рожденный Бозе де Бройль Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Гуцвиллер Гейзенберг Гильберт Иордания Крамерс Ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Паули Планк Раби Раман Рюдберг Шредингер Симмонс Зоммерфельд фон Нейман Вейль Вена Вигнер Зееман Цайлингер
в т е

В квантовой механике и теории рассеяния одномерный ступенчатый потенциал — это идеализированная система, используемая для моделирования падающих, отраженных и проходящих волн материи . Задача состоит в решении независимого от времени уравнения Шредингера для частицы со ступенчатым потенциалом в одном измерении. Обычно потенциал моделируется как ступенчатая функция Хевисайда .

Не зависящее от времени уравнение Шредингера для волновой функции имеет вид где Ĥ — гамильтониан , ħ — приведенная постоянная Планка , m — масса , E — энергия частицы. Ступенчатый потенциал — это просто произведение V ₀ , высоты барьера и ступенчатой ​​функции Хевисайда :${\displaystyle \psi (x)}$$${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),}$$$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x<0\\V_{0},&x\geq 0\end{cases}}}$$

Барьер расположен в точке x = 0, хотя можно выбрать любую позицию x ₀ без изменения результатов, просто сдвинув позицию шага на − x ₀ .

Первый член гамильтониана — это кинетическая энергия частицы.${\textstyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\psi }$

Ступенька делит пространство на две части: x < 0 и x > 0. В любой из этих частей потенциал постоянен, то есть частица квазисвободна, а решение уравнения Шредингера можно записать в виде суперпозиции лево- и праводвижущихся волн (см. свободная частица ).

${\displaystyle \psi _{1}(x)=\left(A_{\rightarrow }e^{ik_{1}x}+A_{\leftarrow }e^{-ik_{1}x}\right)\quad x<0,}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=\left(B_{\rightarrow }e^{ik_{2}x}+B_{\leftarrow }e^{-ik_{2}x}\right)\quad x>0}$

где индексы 1 и 2 обозначают области x < 0 и x > 0 соответственно, индексы (→) и (←) у амплитуд A и B обозначают направление вектора скорости частицы: вправо и влево соответственно.

Волновые векторы в соответствующих областях

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}},}$

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {2m(E-V_{0})/\hbar ^{2}}}}$

оба из которых имеют ту же форму, что и соотношение Де Бройля (в одном измерении)

${\displaystyle p=\hbar k}$.

Коэффициенты A , B должны быть найдены из граничных условий волновой функции при x = 0. Волновая функция и ее производная должны быть непрерывны всюду, поэтому:

${\displaystyle \psi _{1}(0)=\psi _{2}(0),}$

${\displaystyle \left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=0}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=0}.}$

Подставляя волновые функции, граничные условия дают следующие ограничения на коэффициенты:

${\displaystyle (A_{\rightarrow }+A_{\leftarrow })=(B_{\rightarrow }+B_{\leftarrow })}$

${\displaystyle k_{1}(A_{\rightarrow }-A_{\leftarrow })=k_{2}(B_{\rightarrow }-B_{\leftarrow })}$

Полезно сравнить ситуацию с классическим случаем. В обоих случаях частица ведет себя как свободная частица вне области барьера. Классическая частица с энергией E, большей высоты барьера V _{0 ,} будет замедлена, но никогда не отразится барьером, в то время как классическая частица с E < V ₀ , падающая на барьер слева, всегда будет отражаться. Как только мы найдем квантово-механический результат, мы вернемся к вопросу о том, как восстановить классический предел.

Для изучения квантового случая рассмотрим следующую ситуацию: частица падает на барьер с левой стороны A _→ . Она может быть отражена ( A _← ) или пройдена ( B _→ ). Здесь и далее предполагаем E > V ₀ .

Чтобы найти амплитуды отражения и пропускания при падении слева, мы устанавливаем в приведенных выше уравнениях A _→ = 1 (входящая частица), A _← = √ R (отражение), B _← = 0 (нет входящей частицы справа) и B _→ = √ Tk ₁ / k ₂ (пропускание ^[1] ) . Затем мы решаем относительно T и R.

Результат:

${\displaystyle {\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R}}={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

Модель симметрична относительно преобразования четности и в то же время меняет местами k ₁ и k ₂ . Для падения справа мы имеем, следовательно, амплитуды для пропускания и отражения

${\displaystyle {\sqrt {T'}}={\sqrt {T}}={\frac {2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle {\sqrt {R'}}=-{\sqrt {R}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}.}$

При энергиях E < V ₀ волновая функция справа от ступеньки экспоненциально затухает на расстоянии .${\displaystyle 1/(k_{2})}$

В этом диапазоне энергий коэффициенты пропускания и отражения отличаются от классического случая. Они одинаковы для падения слева и справа:

${\displaystyle T=|T'|={\frac {4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

${\displaystyle R=|R'|=1-T={\frac {(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}}}$

В пределе больших энергий E ≫ V ₀ имеем k ₁ ≈ k ₂ и восстанавливается классический результат T = 1, R = 0.

Таким образом, существует конечная вероятность того, что частица с энергией, большей высоты ступеньки, будет отражена.

• В случае большого положительного E и малого положительного шага T почти равно 1.
• Но в случае малого положительного E и большого отрицательного V R почти равно 1.

Другими словами, квантовая частица отражается от большого падения потенциала (так же, как и от большого скачка потенциала). Это имеет смысл с точки зрения несоответствия импеданса, но это кажется классически контринтуитивным...

Результат, полученный для R, зависит только от отношения E / V ₀ . На первый взгляд это выглядит как нарушение принципа соответствия , поскольку мы получаем конечную вероятность отражения независимо от значения постоянной Планка или массы частицы. Например, мы, кажется, предсказываем, что когда шарик катится к краю стола, может быть большая вероятность того, что он отразится обратно, а не упадет. Согласованность с классической механикой восстанавливается путем устранения нефизического предположения о том, что ступенчатый потенциал является прерывистым. Когда ступенчатая функция заменяется пандусом, который охватывает некоторое конечное расстояние w , вероятность отражения приближается к нулю в пределе , где k - волновое число частицы. ^[2]${\displaystyle wk\to \infty }$

Релятивистский расчет свободной частицы, сталкивающейся со ступенчатым потенциалом, может быть получен с помощью релятивистской квантовой механики . Для случая 1/2 фермионов, таких как электроны и нейтрино , решения уравнения Дирака для высоких энергетических барьеров дают коэффициенты пропускания и отражения, которые не ограничены. Это явление известно как парадокс Клейна . Кажущийся парадокс исчезает в контексте квантовой теории поля .

Ступенчатый потенциал Хевисайда в основном служит упражнением по вводной квантовой механике, поскольку решение требует понимания различных концепций квантовой механики: нормализации волновой функции, непрерывности, амплитуд падения/отражения/прохождения и вероятностей.

Аналогичная рассмотренной проблема возникает в физике интерфейсов нормальный металл- сверхпроводник . Квазичастицы рассеиваются на парном потенциале , который в простейшей модели можно считать имеющим ступенчатую форму. Решение уравнения Боголюбова-де Жена напоминает решение обсуждаемого ступенчатого потенциала Хевисайда. В случае нормальный металл-сверхпроводник это приводит к андреевскому отражению .

• Прямоугольный потенциальный барьер
• Конечная потенциальная яма
• Бесконечная потенциальная яма
• Дельта-потенциальный барьер
• Конечный потенциальный барьер

• Квантовая механика Демистифицирована , Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е издание) , Р. Эйсберг, Р. Резник, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Квантовая механика , Э. Аберс, редактор Пирсона, Эддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0 
• Элементарная квантовая механика , Н. Ф. Мотт, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5 
• Стационарные состояния , А. Холден, College Physics Monographs (США), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Й. Пелег, Р. Пнини, Очерки Шаума, Mc Graw Hill (США), 1998, ISBN 007-0540187 

• Новая квантовая вселенная , Т. Хей, П. Уолтерс, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• Квантовая теория поля , Д. Макмахон, McGraw Hill (США), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Квантовая механика , Э. Заарур, Й. Пелег, Р. Пнини, краткий курс Шаума, McGraw Hill (США), 2006, ISBN 007-145533-7 ISBN 978-007-145533-6