Обозначение Штейнхауза–Мозера

В математике нотация Штейнхауза–Мозера — это нотация для выражения некоторых больших чисел . Это расширение (разработанное Лео Мозером ) многоугольной нотации Гуго Штейнхауза . ^[1]

Число n в треугольнике означает n ⁿ .

Число n в квадрате эквивалентно «числу n внутри n треугольников, которые все вложены друг в друга».

Число n в пятиугольнике эквивалентно «числу n внутри n квадратов, которые все вложены друг в друга».

и т. д.: n, записанное в многоугольнике с длиной сторон ( m + 1 ), эквивалентно "числу n внутри n вложенных m -сторонних многоугольников". В серии вложенных многоугольников они связаны внутри. Число n внутри двух треугольников эквивалентно числу n ⁿ внутри одного треугольника, которое эквивалентно числу n ^n, возведенному в степень n ⁿ .

Штейнхауз определил только треугольник, квадрат и круг. , что эквивалентно пятиугольнику, определенному выше.

Штейнхаус определил:

• мега — число, эквивалентное 2 в круге: ②
• Мегистон — число, эквивалентное 10 в круге: ⑩

Число Мозера — это число, представленное как «2 в мегагоне». Мегагон здесь — название многоугольника с «мега» сторонами (не путать с многоугольником с миллионом сторон ).

Альтернативные обозначения:

• используйте функции квадрат(x) и треугольник(x)
• пусть M ( n , m , p ) будет числом, представленным числом n в m вложенных p -сторонних многоугольниках; тогда правила таковы:
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$
• и
  • мега = ${\displaystyle М(2,1,5)}$
  • мегистон = ${\displaystyle М(10,1,5)}$
  • мозер = ${\displaystyle М(2,1,М(2,1,5))}$

Мега, ②, уже является очень большим числом, так как ② = квадрат(квадрат(2)) = квадрат(треугольник(треугольник(2))) = квадрат(треугольник(2 ² )) = квадрат(треугольник(4)) = квадрат(4 ⁴ ) = квадрат(256) = треугольник(треугольник(треугольник(...треугольник(256)...))) [256 треугольников] = треугольник(треугольник(треугольник(...треугольник(256 256 ⁾ ...))) [255 треугольников] ~ треугольник(треугольник(треугольник(...треугольник(3.2317 × 10 ⁶¹⁶ )...))) [255 треугольников] ...

Используя другие обозначения:

мега =${\displaystyle М(2,1,5)=М(256,256,3)}$

С функцией мы имеем mega = , где верхний индекс обозначает функциональную степень , а не числовую.${\displaystyle f(x)=x^{x}}$${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$

Имеем (обратите внимание на соглашение, что мощности оцениваются справа налево):

• ${\displaystyle М(256,2,3)=}$ ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• ${\displaystyle М(256,3,3)=}$ ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$≈${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

Сходным образом:

• ${\displaystyle M(256,4,3)\приблизительно}$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,5,3)\приблизительно }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$
• ${\displaystyle M(256,6,3)\приблизительно }$ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$

и т. д.

Таким образом:

• mega = , где обозначает функциональную мощность функции .${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$${\displaystyle f(n)=256^{n}}$

Округляя более грубо (заменяя 257 в конце на 256), получаем mega ≈ , используя обозначение Кнута со стрелкой вверх .${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$

После первых нескольких шагов значение каждый раз приблизительно равно . Фактически, оно даже приблизительно равно (см. также приближенную арифметику для очень больших чисел ). Используя степени с основанием 10, получаем:${\displaystyle n^{n}}$${\displaystyle 256^{н}}$${\displaystyle 10^{н}}$

• ${\displaystyle M(256,1,3)\приблизительно 3,23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\приблизительно 10^{\,\!1,99\times 10^{619}}}$( добавляется к 616)${\displaystyle \log _{10}616}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)\приблизительно 10^{\,\!10^{1,99\times 10^{619}}}}$( добавляется к , что незначительно; поэтому внизу добавляется только 10)${\displaystyle 619}$${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$
• ${\displaystyle M(256,4,3)\приблизительно 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• mega = , где обозначает функциональную мощность функции . Следовательно${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1,99\times 10^{619}}$${\displaystyle (10\uparrow)^{255}}$${\displaystyle f(n)=10^{n}}$${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{мега}}<10\uparrow \uparrow 258}$

Было доказано, что в нотации Конвея с цепочкой стрелок

${\displaystyle \mathrm {мозер} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

и, в обозначении Кнута со стрелкой вверх ,

${\displaystyle \mathrm {мозер} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ где }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

Таким образом, число Мозера, хотя и непостижимо велико, исчезающе мало по сравнению с числом Грэма : ^[2]

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Число Грэма}}.}$

• Функция Аккермана

• Большие числа Роберта Мунафо
• Факты о больших числах
• Megistron на mathworld.wolfram.com (Штайнхаус называл это число «megiston» без «r»).
• Обозначение окружности на mathworld.wolfram.com
• Нотация Штейнхауза-Мозера - Бессмысленные большие числа