Проблема исчисления Штайнера

Задача Штейнера , поставленная и решенная Штейнером (1850), — это задача нахождения максимума функции

${\displaystyle f(x)=x^{1/x}.\,}$^[1]

Назван в честь Якоба Штайнера .

Максимум находится при , где e обозначает основание натурального логарифма . Это можно определить, решив эквивалентную задачу максимизации ${\displaystyle x=e}$

${\displaystyle g(x)=\ln f(x)={\frac {\ln x}{x}}.}$

Применяя тест первой производной , производная равна${\displaystyle г}$

${\displaystyle g'(x)={\frac {1-\ln x}{x^{2}}},}$

поэтому является положительным для и отрицательным для , что подразумевает, что – и, следовательно , – увеличивается для и уменьшается для Таким образом, является уникальным глобальным максимумом${\displaystyle g'(x)}$${\displaystyle 0<x<e}$${\displaystyle x>e}$${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle 0<x<e}$${\displaystyle x>e.}$${\displaystyle x=e}$${\displaystyle f(x).}$

• Штайнер, Дж. (1850), «Über das größte Product der Theile oder Summanden jeder Zahl» (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 40 : 208