Код Стайна

Код Стина — это инструмент квантовой коррекции ошибок, представленный Эндрю Стином в 1996 году. Это CSS-код (Калдербэнк-Шор-Стин), использующий классический двоичный [7,4,3] код Хэмминга для исправления как ошибок переворота кубита (ошибки X), так и ошибок переворота фазы (ошибки Z). Код Стина кодирует один логический кубит в 7 физических кубитах и ​​способен исправлять произвольные ошибки одного кубита.

Его проверочная матрица в стандартной форме имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}H&0\\0&H\end{bmatrix}}}$

где H — матрица проверки на четность кода Хэмминга, которая определяется как

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&1&1&1\\0&1&0&1&1&0&1\\0&0&1&0&1&1&1\end{bmatrix}}.}$

Код Стина является первым в семействе квантовых кодов Хэмминга, кодов с параметрами для целых чисел . Он также является квантовым цветным кодом.${\displaystyle [[7,1,3]]}$${\displaystyle [[2^{r}-1,2^{r}-1-2r,3]]}$${\displaystyle r\geq 3}$

В квантовом коде с исправлением ошибок кодовое пространство является подпространством общего гильбертова пространства, в котором находятся все логические состояния. В -кубитном стабилизирующем коде мы можем описать это подпространство его стабилизирующей группой Паули, набором всех -кубитных операторов Паули, которые стабилизируют каждое логическое состояние. Формализм стабилизатора позволяет нам определить кодовое пространство стабилизирующего кода, указав его стабилизирующую группу Паули. Мы можем эффективно описать эту экспоненциально большую группу, перечислив ее генераторы .${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Поскольку код Стина кодирует один логический кубит в 7 физических кубитах, кодовое пространство для кода Стина представляет собой -мерное подпространство его -мерного гильбертова пространства.${\displaystyle 2}$${\displaystyle 2^{7}}$

В формализме стабилизатора код Стина имеет 6 генераторов:

${\displaystyle {\begin{aligned}&IIIXXXX\\&IXXIIXX\\&XIXIXIX\\&IIIZZZZ\\&IZZIIZZ\\&ZIZIZIZ.\end{aligned}}}$

Обратите внимание, что каждый из приведенных выше генераторов является тензорным произведением 7 однокубитовых операций Паули. Например, является просто сокращением для , то есть тождества на первых трех кубитах и ​​гейта на каждом из последних четырех кубитов. Тензорные произведения часто опускаются в обозначениях для краткости.${\displaystyle IIIXXXX}$${\displaystyle I\otimes I\otimes I\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X}$${\displaystyle X}$

Логические и вентили ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$

${\displaystyle {\begin{align}X_{L}&=XXXXXXX\\Z_{L}&=ZZZZZZZ.\end{align}}}$

Логические и состояния кода Стайна следующие:${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}|0\rangle _{L}=&{\frac {1}{\sqrt {8}}}[|0000000\rangle +|1010101\rangle +|0110011\rangle +|1100110\rangle \\&+|0001111\rangle +|1011010\rangle +|0111100\rangle +|1101001\rangle ]\\|1\rangle _{L}=&X_{L}|0\rangle _{L}.\end{aligned}}}$

Произвольные кодовые состояния имеют вид .${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle _{L}+\beta |1\rangle _{L}}$

• Стин, Эндрю (1996). «Многочастичная интерференция и квантовая коррекция ошибок». Proc. R. Soc. Lond. A. 452 ( 1954): 2551– 2577. arXiv : quant-ph/9601029 . Bibcode : 1996RSPSA.452.2551S. doi : 10.1098/rspa.1996.0136. S2CID  8246615.