Стационарное вейвлет-преобразование

Стационарное вейвлет-преобразование ( SWT ) [1] — это алгоритм вейвлет-преобразования, разработанный для преодоления недостатка инвариантности к трансляции дискретного вейвлет-преобразования ( DWT ). Инвариантность к трансляции достигается путем удаления понижающих и повышающих дискретизаторов в DWT и повышения дискретизации коэффициентов фильтра с коэффициентом на th уровне алгоритма. [2] [3] [4] [5] SWT — это изначально избыточная схема, поскольку выход каждого уровня SWT содержит то же количество выборок, что и вход, — поэтому для разложения N уровней возникает избыточность N в вейвлет-коэффициентах. Этот алгоритм более известен как « algorithm à trous » на французском языке (слово trous означает «дырки» на английском языке), что относится к вставке нулей в фильтры. Он был введен Хольшнайдером и др. [6] 2 ( дж − 1 ) {\displaystyle 2^{(j-1)}} дж {\displaystyle j}

Определение

Базовый алгоритм дискретного вейвлет-преобразования (DWT) адаптирован для получения стационарного вейвлет-преобразования (SWT), которое не зависит от источника. Подход SWT прост, он заключается в применении подходящих фильтров верхних и нижних частот к данным на каждом уровне, что приводит к генерации двух последовательностей на последующем уровне. Без использования методов понижения частоты дискретизации длина новых последовательностей сохраняется такой же, как и у исходных последовательностей. Вместо того, чтобы использовать децимацию, похожую на стандартное вейвлет-преобразование, которое удаляет элементы, фильтры на каждом уровне корректируются путем их дополнения нулями, как объясняется в следующем: [7]

З х 2 дж = х дж ,   З х 2 дж + 1 = 0   ф о г   а л л   я н т е г е г с   дж {\displaystyle {Zx}_{2j}=x_{j},\ {Zx}_{2j+1}=0\ для\ всех\ целых чисел\ j}

Д 0 г ЧАС [ г ] = ЧАС Д 0 г {\displaystyle D_{0}^{r}H^{\left[r\right]}=HD_{0}^{r}}

Д 0 г Г [ г ] = Г Д 0 г {\displaystyle D_{0}^{r}G^{\left[r\right]}=GD_{0}^{r}}

где — оператор, который перемежает заданную последовательность нулями для всех целых чисел . З {\displaystyle Z} дж {\displaystyle j}

Д 0 г {\displaystyle D_{0}^{r}} это оператор бинарного прореживания

ЧАС [ г ] {\displaystyle H^{\left[r\right]}} это фильтр с весами час 2 г [ г ] дж = час дж   а н г   час к [ г ] = 0   я ф   к   я с   н о т   а   м ты л т я п л е   о ф   2 г . {\displaystyle {h_{2^{r}}^{\left[r\right]}}_{j}=h_{j}\ и\ h_{k}^{\left[r\right]}=0\ если\ k\ не\ кратно\ 2^{r}.}

Г [ г ] {\displaystyle G^{\left[r\right]}} это фильтр с весами г 2 г [ г ] дж = час дж   а н г   г к [ г ] = 0   я ф   к   я с   н о т   а   м ты л т я п л е   о ф   2 г . {\displaystyle {g_{2^{r}}^{\left[r\right]}}_{j}=h_{j}\ и\ g_{k}^{\left[r\right]}=0\ если\ k\ не\ кратно\ 2^{r}.}

Конструкция фильтров заключается в вставке нуля между каждой соседней парой элементов в фильтре и соответственно. ЧАС [ г ] {\displaystyle H^{\left[r\right]}} Г [ г ] {\displaystyle G^{\left[r\right]}} ЧАС [ г − 1 ] {\displaystyle H^{\left[r-1\right]}} Г [ г − 1 ] {\displaystyle G^{\left[r-1\right]}}

Обозначение в качестве исходной последовательности требуется перед определением стационарного вейвлет-преобразования. а Дж. {\displaystyle а^{J}} с Дж. {\displaystyle c^{J}}

а дж − 1 = ЧАС [ Дж. − дж ] а дж ,   ф о г   дж = Дж. , Дж. − 1 ,   …   , 1   {\displaystyle a^{j-1}=H^{\left[J-j\right]}a^{j},\ for\ j=J,J-1,\ \ldots \ ,1\ }

b j − 1 = G [ J − j ] a j , f o r   j = J , J − 1 ,   …   , 1 {\displaystyle b^{j-1}=G^{\left[J-j\right]}a^{j},for\ j=J,J-1,\ \ldots \ ,1}

где a j = b j ,   i f   l e n g t h   o f   a j = 2 J {\displaystyle a^{j}=b^{j},\ if\ length\ of\ a^{j}=2^{J}}

Выполнение

Следующая блок-схема иллюстрирует цифровую реализацию SWT.

Трехуровневый банк фильтров SWT

На приведенной выше диаграмме фильтры на каждом уровне представляют собой расширенные версии предыдущего (см. рисунок ниже).

SWT-фильтры

Приложения

Ниже приведены некоторые применения SWT.

Улучшение изображения

SWT может использоваться для повышения разрешения изображения с целью обеспечения лучшего качества изображения. Главным недостатком повышения разрешения изображения с помощью обычного метода, интерполяции , является потеря высокочастотных компонентов. [8] Это приводит к сглаживанию интерполяции, что приводит к размытости изображения с отсутствием или уменьшением количества мелких деталей, резких краев. Информация о высокочастотных компонентах (краях) имеет решающее значение для достижения лучшего качества изображения сверхразрешенного изображения.

Сначала он разлагает входное изображение на различные изображения поддиапазонов, применяя одноуровневое DWT. Есть три изображения поддиапазонов для захвата высокочастотных компонентов входного изображения. После этого следует реализация SWT, ее цель — смягчить потерю информации, вызванную понижением частоты дискретизации в каждом поддиапазоне DWT. Укрепленные и исправленные высокочастотные поддиапазоны формируются путем суммирования высокочастотных поддиапазонов из DWT и SWT, и в результате выходное изображение имеет резкие края.

Шумоподавление сигнала

Традиционная процедура шумоподавления в основном состоит из первого преобразования сигнала в другой домен, затем применения пороговой обработки и, наконец, выполнения обратного преобразования для восстановления исходного сигнала. Стационарное вейвлет-преобразование вводится для разрешения явления Гиббса, вызванного процессом сдвига в дискретном вейвлет-преобразовании . Это явление влияет на качество изображения (шумы) после процесса восстановления. Модифицированная процедура проста, сначала выполняется стационарное вейвлет-преобразование сигнала, пороговая обработка и, наконец, обратное преобразование. Краткое объяснение показано ниже:

В отличие от дискретного вейвлет-преобразования, SWT не понижает частоту дискретизации сигнала на каждом уровне. Вместо этого он сохраняет исходную частоту дискретизации на протяжении всего процесса разложения, и это обеспечивает эффективную инкапсуляцию высоко- и низкочастотных компонентов. Поскольку шум часто распространяется по всем масштабам с небольшим вкладом в величину, пороговая обработка реализуется как следующий шаг к вейвлет-коэффициентам. Коэффициенты ниже определенного порогового уровня устанавливаются равными нулю или уменьшаются, что приводит к разделению сигнала и шума. После удаления или подавления шумовых коэффициентов, которые процесс реконструкции не учитывает, очищенный от шумов сигнал становится более четким.

Шумоподавление сигнала также широко используется в биомедицинском шумоподавлении сигнала (ЭКГ), [9] шумоподавлении изображения. Эффективность SWT в шумоподавлении сигнала делает его ценным инструментом в реальных приложениях в различных областях.

  • Распознавание образов
  • Классификация изображений мозга [10]
  • Патологическое обнаружение мозга [11]

Пример кода

Вот пример применения стационарного вейвлет-преобразования к ЛЧМ-сигналу, закодированный с помощью python3:

  1. Установить необходимые пакеты для python
    pip  установить  numpypip  установить  matplotlibpip  установить  pywt
  2. Импорт библиотек в Python
    импортировать  numpy  как  npимпортировать  matplotlib.pyplot  как  pltимпорт  pywt
  3. Основной код
    # Генерация чирп-сигналаt  =  np.linspace ( 0 , 1 , 1000 , конечная точка = Ложь )​   частота  =  10  +  20  *  tchirp_signal  =  np.sin ( 2 * np.pi * частота * t )​​​​      # Выполнить стационарное вейвлет-преобразование (SWT)вейвлет  =  'db1'  # вейвлет Добешиуровень  =  3  # Уровень разложенияcoeffs  =  pywt.swt ( chirp_signal , wavelet , level ) # Коэффициенты​   # Построить исходный сигнал ЛЧМplt . рисунок ( figsize = ( 12 ,  6 ))пл . подсюжет ( уровень  +  2 ,  1 ,  1 )plt . plot ( t ,  chirp_signal )plt . title ( 'Оригинальный сигнал Chirp' )plt . легенда ()# Построить график коэффициентов SWTдля  i  в  диапазоне ( уровне ): plt . подсюжет ( уровень  +  2 ,  1 ,  i  +  2 ) plt . plot ( t ,  coeffs [ i ][ 0 ]) plt . plot ( t ,  coeffs [ i ][ 1 ]) plt . title ( f 'SWT Коэффициенты - Уровень { i } ' )plt.tight_layout ( )​plt . показать ()
  4. Выход

Синонимы

  • Избыточное вейвлет-преобразование
  • Алгоритм для trous
  • Квазинепрерывное вейвлет-преобразование
  • Трансляционно-инвариантное вейвлет-преобразование
  • Сдвиг инвариантное вейвлет-преобразование
  • Цикл прядения
  • Максимальное перекрытие вейвлет-преобразования (MODWT)
  • Недецимированное вейвлет-преобразование (UWT)

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Джеймс Э. Фаулер: Избыточное дискретное вейвлет-преобразование и аддитивный шум, содержит обзор различных названий этого преобразования.
  2. ^ А. Н. Акансу и И. Лю, О методах разложения сигналов, Оптическая инженерия, стр. 912-920, июль 1991 г.
  3. ^ MJ Shensa, Дискретное вейвлет-преобразование: объединение алгоритмов Атроуса и Маллата, Труды IEEE по обработке сигналов, том 40, № 10, октябрь 1992 г.
  4. ^ М. В. Тазебай и А. Н. Акансу, Прогрессивная оптимальность в иерархических банках фильтров, Труды Международной конференции IEEE по обработке изображений (ICIP), том 1, стр. 825-829, ноябрь 1994 г.
  5. ^ М. В. Тазебай и А. Н. Акансу, Адаптивные субполосные преобразования в частотно-временных эксцизерах для систем связи DSSS, Труды IEEE по обработке сигналов, том 43, № 11, стр. 2776-2782, ноябрь 1995 г.
  6. ^ M. Holschneider, R. Kronland-Martinet, J. Morlet и P. Tchamitchian. Алгоритм анализа сигналов в реальном времени с помощью вейвлет-преобразования. В Wavelets, Time-Frequency Methods and Phase Space , стр. 289–297. Springer-Verlag, 1989.
  7. ^ Nason, GP; Silverman, BW (1995), "Стационарное вейвлет-преобразование и некоторые статистические приложения", Wavelets and Statistics , Нью-Йорк, NY: Springer New York, стр. 281–299, doi :10.1007/978-1-4612-2544-7_17, ISBN 978-0-387-94564-4, получено 2023-12-26
  8. ^ Демирель, Х.; Анбарджафари, Г. (2011). «Улучшение разрешения ИЗОБРАЖЕНИЯ с помощью дискретного и стационарного вейвлет-разложения». Труды IEEE по обработке изображений . 20 (5): 1458–1460. Bibcode : 2011ITIP...20.1458D. doi : 10.1109/TIP.2010.2087767. PMID  20959267. Получено 26.12.2023 .
  9. ^ Кумар, Ашиш; Томар, Харшит; Мела, Вирендер Кумар; Комарагири, Рама; Кумар, Манджит (01 августа 2021 г.). «Метод шумоподавления сигнала ЭКГ на основе стационарного вейвлет-преобразования». ISA-транзакции . 114 : 251–262. дои : 10.1016/j.isatra.2020.12.029. ISSN  0019-0578. PMID  33419569. S2CID  230588417.
  10. ^ Чжан, И. (2010). «Извлечение признаков из МРТ мозга с помощью стационарного вейвлет-преобразования и его применение». Журнал биологических систем . 18 (s1): 115–132. doi :10.1142/S0218339010003652.
  11. ^ Донг, З. (2015). «Классификация магнитно-резонансных изображений мозга с помощью стационарного вейвлет-преобразования и обобщенной машины опорных векторов проксимальных опорных векторов собственных значений». Журнал медицинской визуализации и медицинской информатики . 5 (7): 1395–1403. doi :10.1166/jmihi.2015.1542.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Stationary_wavelet_transform&oldid=1237723003"