Симметричная функция Стэнли

В математике , и особенно в алгебраической комбинаторике , симметрические функции Стэнли представляют собой семейство симметрических функций, введенных Ричардом Стэнли  (1984) в его исследовании симметрической группы перестановок .

Формально, симметричная функция Стэнли F _w ( x ₁ , x ₂ , ...), индексированная перестановкой w, определяется как сумма некоторых фундаментальных квазисимметричных функций . Каждое слагаемое соответствует сокращенному разложению w , то есть способу записи w как произведения минимально возможного числа смежных транспозиций . Они были введены в ходе перечисления Стэнли сокращенных разложений перестановок, и в частности его доказательства того, что перестановка w ₀ = n ( n − 1)...21 (записанная здесь в однострочной записи ) имеет ровно

${\displaystyle {\frac {{\binom {n}{2}}!}{1^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdot 5^{n-3}\cdots (2n-3)^{1}}}}$

сокращенные разложения. (Здесь обозначает биномиальный коэффициент n ( n − 1)/2, а ! обозначает факториал .)${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$

Симметричная функция Стэнли F _w является однородной со степенью , равной числу инверсий w . В отличие от других хороших семейств симметричных функций, симметричные функции Стэнли имеют много линейных зависимостей и поэтому не образуют базис кольца симметричных функций . Когда симметричная функция Стэнли разлагается по базису функций Шура , все коэффициенты являются неотрицательными целыми числами .

Симметричные функции Стэнли обладают тем свойством, что они являются устойчивым пределом полиномов Шуберта.

${\displaystyle F_{w}(x)=\lim _{n\to \infty }{\mathfrak {S}}_{1^{n}\times w}(x)}$

где мы рассматриваем обе стороны как формальные степенные ряды и берем предел по коэффициентам.

• Стэнли, Ричард П. (1984), «О числе сокращенных разложений элементов групп Коксетера» (PDF) , Европейский журнал комбинаторики , 5 (4): 359–372 , doi :10.1016/s0195-6698(84)80039-6, ISSN  0195-6698, MR  0782057