Теорема о сжатии

This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. Find sources: "Squeeze theorem" – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (April 2010) (Learn how and when to remove this message)

В исчислении теорема о сжатии (также известная как теорема о сэндвиче , среди прочих названий ^[a] ) — это теорема о пределе функции , которая ограничена двумя другими функциями .

Теорема сжатия используется в исчислении и математическом анализе , как правило, для подтверждения предела функции посредством сравнения с двумя другими функциями, пределы которых известны. Впервые она была использована геометрически математиками Архимедом и Евдоксом в попытке вычислить π и была сформулирована в современных терминах Карлом Фридрихом Гауссом .

Теорема о сжатии формально формулируется следующим образом. ^[1]

• Функции g и h называются нижней и верхней границами (соответственно) функции f .
• Здесь a не обязательно должен лежать внутри I. Действительно , если a является конечной точкой I , то указанные выше пределы являются левыми или правыми пределами.
• Аналогичное утверждение справедливо для бесконечных интервалов: например, если I = (0, ∞) , то заключение справедливо, если принять пределы при x → ∞ .

Эта теорема также справедлива для последовательностей. Пусть ( a _n ), ( c _n ) — две последовательности, сходящиеся к ℓ , и ( b _n ) — последовательность. Если у нас есть a _n ≤ b _n ≤ c _n , то ( b _n ) также сходится к ℓ .${\displaystyle \forall n\geq N,N\in \mathbb {N} }$

Согласно вышеизложенным гипотезам, мы имеем, взяв нижний и верхний предел: поэтому все неравенства на самом деле являются равенствами, и тезис немедленно следует.$${\displaystyle L=\lim _{x\to a}g(x)\leq \liminf _{x\to a}f(x)\leq \limsup _{x\to a}f(x)\leq \lim _{x\to a}h(x)=L,}$$

Прямое доказательство, использующее ( ε , δ ) -определение предела, состояло бы в доказательстве того, что для всех действительных ε > 0 существует действительное δ > 0 такое, что для всех x с мы имеем Символически,${\displaystyle |x-a|<\delta ,}$${\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon .}$

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0:\forall x,(|x-a|<\delta \ \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon ).}$$

Как

$${\displaystyle \lim _{x\to a}g(x)=L}$$

означает, что

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{1}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{1}\ \Rightarrow \ |g(x)-L|<\varepsilon ).}$$

( 1 )

и $${\displaystyle \lim _{x\to a}h(x)=L}$$

означает, что

$${\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists \ \delta _{2}>0:\forall x\ (|x-a|<\delta _{2}\ \Rightarrow \ |h(x)-L|<\varepsilon ),}$$

( 2 )

тогда у нас есть

$${\displaystyle g(x)\leq f(x)\leq h(x)}$$$${\displaystyle g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L}$$

Мы можем выбрать . Тогда, если , объединяя ( 1 ) и ( 2 ), мы имеем${\displaystyle \delta :=\min \left\{\delta _{1},\delta _{2}\right\}}$${\displaystyle |x-a|<\delta }$

$${\displaystyle -\varepsilon <g(x)-L\leq f(x)-L\leq h(x)-L\ <\varepsilon ,}$$$${\displaystyle -\varepsilon <f(x)-L<\varepsilon ,}$$

что завершает доказательство. QED

Доказательство для последовательностей очень похоже и использует определение предела последовательности.${\displaystyle \varepsilon }$

Предел

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

не может быть определено через предельный закон

$${\displaystyle \lim _{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim _{x\to a}f(x)\cdot \lim _{x\to a}g(x),}$$

потому что

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$$

не существует.

Однако, по определению функции синуса ,

$${\displaystyle -1\leq \sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq 1.}$$

Из этого следует, что

$${\displaystyle -x^{2}\leq x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)\leq x^{2}}$$

Так как , по теореме о сжатии, также должно быть равно 0.${\displaystyle \lim _{x\to 0}-x^{2}=\lim _{x\to 0}x^{2}=0}$${\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{2}\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)}$

Вероятно, наиболее известными примерами нахождения предела методом сжатия являются доказательства равенств$${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,\\[10pt]&\lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0.\end{aligned}}}$$

Первый предел следует из теоремы о сжатии из того факта, что ^[2]

$${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1}$$

для x достаточно близко к 0. Правильность которого для положительного x можно увидеть с помощью простого геометрического рассуждения (см. рисунок), которое можно распространить и на отрицательный x . Второй предел следует из теоремы о сжатии и того факта, что

$${\displaystyle 0\leq {\frac {1-\cos x}{x}}\leq x}$$для x, достаточно близкого к 0. Это можно получить, заменив sin x в предыдущем факте на и возведя полученное неравенство в квадрат.${\textstyle {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$

Эти два предела используются в доказательствах того факта, что производная функции синуса есть функция косинуса. Этот факт используется в других доказательствах производных тригонометрических функций.

Это можно показать с помощью сжатия следующим образом.$${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$$

На рисунке справа площадь меньшего из двух заштрихованных секторов круга равна

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}},}$$

так как радиус равен sec θ , а дуга на единичной окружности имеет длину  Δ θ . Аналогично, площадь большего из двух заштрихованных секторов равна

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}.}$$

То, что зажато между ними, — это треугольник, основанием которого является вертикальный отрезок, концы которого — две точки. Длина основания треугольника равна tan( θ + Δ θ ) − tan θ , а высота равна 1. Площадь треугольника, таким образом, равна

$${\displaystyle {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}.}$$

Из неравенств

$${\displaystyle {\frac {\sec ^{2}\theta \,\Delta \theta }{2}}\leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{2}}\leq {\frac {\sec ^{2}(\theta +\Delta \theta )\,\Delta \theta }{2}}}$$

мы делаем вывод, что

$${\displaystyle \sec ^{2}\theta \leq {\frac {\tan(\theta +\Delta \theta )-\tan \theta }{\Delta \theta }}\leq \sec ^{2}(\theta +\Delta \theta ),}$$

при условии  Δ θ > 0 , и неравенства меняются на противоположные, если  Δ θ < 0. Поскольку первое и третье выражения стремятся к sec ² θ при Δ θ → 0 , а среднее выражение стремится к желаемому результату, то следует.${\displaystyle {\tfrac {d}{d\theta }}\tan \theta ,}$

Теорема сжатия все еще может быть использована в многомерном исчислении, но нижняя (и верхняя функции) должны быть ниже (и выше) целевой функции не только вдоль пути, но и вокруг всей окрестности интересующей точки, и она работает только в том случае, если функция действительно имеет там предел. Поэтому ее можно использовать для доказательства того, что функция имеет предел в точке, но ее никогда нельзя использовать для доказательства того, что функция не имеет предела в точке. ^[3]

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$$

не может быть найдено путем взятия любого количества пределов вдоль путей, проходящих через точку, но поскольку

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&0&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &1\\[4pt]-|y|\leq y\leq |y|\implies &-|y|&\leq &\displaystyle {\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &|y|\\[4pt]{{\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}-|y|=0} \atop {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}\ \ \ |y|=0}}\implies &0&\leq &\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}&\leq &0\end{array}}}$$

следовательно, по теореме о сжатии,

$${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}=0.}$$

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема сжатия». MathWorld .
• Теорема сжатия Брюса Этвуда (Колледж Белойта) на основе работы Селвина Холлиса (Университет штата Армстронг Атлантик), Проект демонстраций Вольфрама .
• Теорема сжатия на ProofWiki.