Спиновая жесткость

Спиновая жесткость или спиновая жесткость — это константа, которая представляет собой изменение энергии основного состояния спиновой системы в результате введения медленного поворота спинов в плоскости. Важность этой константы заключается в ее использовании в качестве индикатора квантовых фазовых переходов — в частности, в моделях с переходами металл-изолятор, таких как изоляторы Мотта . Она также связана с другими топологическими инвариантами , такими как фаза Берри и числа Черна , как в квантовом эффекте Холла .

Математически это можно определить следующим уравнением:

${\displaystyle \rho _{s}={\cfrac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}{\cfrac {E_{0}(\theta )}{N}}|_{\theta =0}}$

где — энергия основного состояния, — угол закручивания, а N — число узлов решетки.${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle \theta }$

Начнем с простого спинового гамильтониана Гейзенберга:

${\displaystyle H_{\mathrm {Heisenberg} }=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+})\right]}$

Теперь введем поворот в системе в точке i на угол θ _i вокруг оси z:

${\displaystyle S_{i}^{+}\longrightarrow S_{i}^{+}e^{i\theta _{i}}}$

${\displaystyle S_{i}^{-}\longrightarrow S_{i}^{-}e^{-i\theta _{i}}}$

Подставим их обратно в гамильтониан Гейзенберга:

${\displaystyle H(\theta _{ij})=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}e^{i\theta _{i}}S_{j}^{-}e^{-i\theta _{j}}+S_{i}^{-}e^{-i\theta _{i}}S_{j}^{+}e^{i\theta _{j}})\right]}$

теперь пусть θ _ij = θ _i - θ _j и расширим вокруг θ _ij = 0 с помощью разложения Маклорена, сохраняя только члены до второго порядка по θ _ij

${\displaystyle H\approx H_{\mathrm {Heisenberg} }-J\sum _{<ij>}\left[\theta _{ij}J_{ij}^{(s)}-{\cfrac {1}{2}}\theta _{ij}^{2}T_{ij}^{(s)}\right]}$

где первый член не зависит от θ, а второй член является возмущением при малых θ.

${\displaystyle J_{ij}^{s}={\cfrac {i}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}-S_{i}^{-}S_{j}^{+})}$это z-компонента оператора спинового тока

${\displaystyle T_{ij}={\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+})}$ это «кинетическая энергия спина»

Рассмотрим теперь случай идентичных поворотов, θ _x только которые существуют вдоль ближайших соседних связей вдоль оси x. Тогда, поскольку жесткость спина связана с разницей в энергии основного состояния соотношением

${\displaystyle E(\theta )-E(0)=N\rho _{s}\theta _{x}^{2}}$

тогда для малых θ _x и с помощью теории возмущений второго порядка получаем:

${\displaystyle \rho _{s}={\cfrac {1}{N}}\left[{\cfrac {1}{2}}\langle T_{x}\rangle +\sum _{\nu \neq 0}{\cfrac {|\langle 0|j_{x}^{(s)}|\nu \rangle |^{2}}{E_{\nu }-E_{0}}}\right]}$

• Спиновая волна

• SE Krüger; R. Darradi; J. Richter; DJJ Farnell (2006). "Прямой расчет спиновой жесткости антиферромагнетика Гейзенберга со спином (1/2) на квадратных, треугольных и кубических решетках с использованием метода связанных кластеров". Physical Review B . 73 (9): 094404. arXiv : cond-mat/0601691 . Bibcode :2006PhRvB..73i4404K. doi :10.1103/PhysRevB.73.094404.
• J. Bonča; JP Rodriguez; J. Ferrer; KS Bedell (1994). "Прямой расчет спиновой жесткости для моделей Гейзенберга со спином 1/2". Physical Review B . 50 (5): 3415– 3418. arXiv : cond-mat/9405069 . Bibcode :1994PhRvB..50.3415B. doi :10.1103/PhysRevB.50.3415. PMID  9976600. S2CID  32495059.
• T. Einarsson; HJ Schulz (1994). "Прямой расчет спиновой жесткости в антиферромагнетике Гейзенберга J ₁ −J ₂ ". Physical Review B . 51 (9): 6151– 6154. arXiv : cond-mat/9410090v1 . Bibcode :1995PhRvB..51.6151E. doi :10.1103/PhysRevB.51.6151. PMID  9979543. S2CID  22218061.
• BS Shastry; B. Sutherland (1990). "Скрученные граничные условия и эффективная масса в кольцах Гейзенберга–Изинга и Хаббарда". Physical Review Letters . 65 (2): 243– 246. Bibcode :1990PhRvL..65..243S. doi :10.1103/PhysRevLett.65.243. PMID  10042589.
• RRP Singh; DA Huse (1989). "Микроскопический расчет константы спиновой жесткости для антиферромагнетика Гейзенберга со спином (1/2) и квадратной решеткой". Physical Review B. 40 ( 10): 7247– 7251. Bibcode : 1989PhRvB..40.7247S. doi : 10.1103/PhysRevB.40.7247. PMID  9991112.
• RG Melko, AW Sandvik и DJ Scalapino (2004). "Двумерная квантовая XY-модель с обменом кольцами и внешним полем". Physical Review B. 69 ( 10): 100408– 100412. arXiv : cond-mat/0311080 . Bibcode : 2004PhRvB..69j0408M. doi : 10.1103/PhysRevB.69.100408. S2CID  119491422.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)