Сферическая конструкция

Сферический дизайн , часть теории комбинаторного дизайна в математике , представляет собой конечный набор из N точек на d -мерной единичной d -сфере S ^{d ,} такой, что среднее значение любого многочлена f степени t или меньше на наборе равно среднему значению f на всей сфере (то есть интегралу f по S ^{d ,} делённому на площадь или меру S d ⁾ . Такой набор часто называют сферическим t - дизайном , чтобы указать значение t , которое является фундаментальным параметром. Концепция сферического дизайна принадлежит Дельсарту, Геталсу и Зайделю ^[1] , хотя эти объекты ранее понимались как частные примеры кубатурных формул.

Сферические конструкции могут быть полезны в теории приближений , в статистике для экспериментального проектирования , в комбинаторике и в геометрии . Основная проблема заключается в том, чтобы найти примеры, учитывая d и t , которые не слишком велики; однако, такие примеры может быть трудно найти. Сферические t-конструкции также недавно были приняты в квантовой механике в форме квантовых t-конструкций с различными приложениями к квантовой теории информации и квантовым вычислениям .

Существование и структура сферических конструкций на окружности были подробно изучены Хонгом. ^[2] Вскоре после этого Сеймур и Заславский ^[3] доказали, что такие конструкции существуют для всех достаточно больших размеров; то есть, если заданы положительные целые числа d и t , существует число N ( d , t ) такое, что для любого N ≥ N ( d , t ) существует сферическая t -конструкция из N точек в размерности d . Однако их доказательство не дало представления о том, насколько велико N ( d , t ).

Мимура конструктивно нашел условия в терминах числа точек и размерности, которые точно характеризуют, когда существуют сферические 2-дизайны. Максимально размерные наборы равноугольных линий (вплоть до идентификации линий как антиподальных точек на сфере) являются примерами минимального размера сферических 5-дизайнов. Существует много спорадических малых сферических дизайнов; многие из них связаны с действиями конечных групп на сфере.

В 2013 году Бондаренко, Радченко и Вязовская ^[4] получили асимптотическую верхнюю границу для всех положительных целых чисел d и  t . Это асимптотически совпадает с нижней границей, первоначально данной Дельсартом, Геталсом и Зайделем. Значение C _d в настоящее время неизвестно, в то время как точные значения известны в относительно немногих случаях.${\displaystyle N(d,t)<C_{d}t^{d}}$${\displaystyle N(d,t)}$

• проблема Томсона

• Сферические t-конструкции для различных значений N и t можно найти в предварительно рассчитанном виде на веб-сайте Нила Слоана и веб-сайте Роберта Уомерсли.

• Бондаренко, Андрей; Радченко, Данило; Вязовская, Марина (2013), "Оптимальные асимптотические оценки для сферических конструкций", Annals of Mathematics , Вторая серия, 178 (2): 443–452, arXiv : 1009.4407 , doi : 10.4007/annals.2013.178.2.2 , MR  3071504, S2CID  2490453.
• Мимура, Ёсио (1990), «Конструкция сферической 2-конструкции», Graphs and Combinatorics , 6 (4): 369–372, doi : 10.1007/BF01787704, S2CID  28942727.
• Дельсарт, П.; Геталс, Дж. М.; Зайдель, Дж. Дж. (1977), «Сферические коды и конструкции», Geometriae Dedicata , 6 (3): 363–388, doi : 10.1007/BF03187604, MR  0485471, S2CID  125833142. Перепечатано в Seidel, JJ (1991), Геометрия и комбинаторика: Избранные труды JJ Seidel , Бостон, Массачусетс: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-189420-7, МР  1116326.
• Хонг, Имин (1982), «О сферических t -конструкциях в R ² », Европейский журнал комбинаторики , 3 (3): 255–258, doi : 10.1016/S0195-6698(82)80036-X , MR  0679209.
• Сеймур, ПД ; Заславский, Томас (1984), «Усреднение множеств: обобщение средних значений и сферических планов», Успехи в математике , 52 (3): 213–240, doi : 10.1016/0001-8708(84)90022-7 , MR  0744857.