Спектральное подмногообразие
Схематическая иллюстрация спектрального подмногообразия, исходящего из спектрального подпространства . Траектория в приведенных координатах отображается в фазовое пространство посредством параметризации многообразия . [1] Вт ( Э ) {\displaystyle {\mathcal {W}}(E)} Э {\displaystyle E} п ( т ) {\displaystyle p(t)} Вт ( п ) {\displaystyle W(п)}

В динамических системах спектральное подмногообразие (SSM) является уникальным наиболее гладким инвариантным многообразием, служащим нелинейным расширением спектрального подпространства линейной динамической системы при добавлении нелинейностей. [2] Теория SSM предоставляет условия, при которых инвариантные свойства собственных пространств линейной динамической системы могут быть расширены на нелинейную систему, и, следовательно, мотивирует использование SSM в нелинейном снижении размерности .

Определение

Рассмотрим нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение вида

г х г т = А х + ф 0 ( х ) , х ∈ Р н , {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x),\quad x\in \mathbb {R} ^{n},}

с постоянной матрицей и нелинейностями, содержащимися в гладкой функции .   А ∈ Р н × н {\displaystyle \ A\in \mathbb {R} ^{n\times n}} ф 0 = О ( | х | 2 ) {\displaystyle f_{0}={\mathcal {O}}(|x|^{2})}

Предположим, что для всех собственных значений , то есть начало координат является асимптотически устойчивой неподвижной точкой. Теперь выберем диапазон собственных векторов . Тогда собственное пространство является инвариантным подпространством линеаризованной системы Повторно λ дж < 0 {\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}<0} λ дж ,   дж = 1 , … , н {\displaystyle \lambda _{j},\ j=1,\ldots ,n} А {\displaystyle А} Э = охватывать { в 1 Э , … в м Э } {\displaystyle E={\text{span}}\,\{v_{1}^{E},\ldots v_{m}^{E}\}} м {\displaystyle м} в я Э {\displaystyle v_{i}^{E}} А {\displaystyle А} Э {\displaystyle E}

г х г т = А х , х ∈ Р н . {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax,\quad x\in \mathbb {R} ^{n}.}

При добавлении нелинейности к линейной системе, в общем случае, возмущается в бесконечное множество инвариантных многообразий. Среди этих инвариантных многообразий, единственное, наиболее гладкое, называется спектральным подмногообразием. ф 0 {\displaystyle f_{0}} Э {\displaystyle E}

Эквивалентный результат для нестабильных SSM справедлив для . Повторно λ дж > 0 {\displaystyle {\text{Re}}\lambda _{j}>0}

Существование

Спектральное подмногообразие, касательное к в начале координат, гарантированно существует при условии, что собственные значения в спектре удовлетворяют определенным условиям нерезонансности . [3] В частности, не может быть линейной комбинации , равной одному из собственных значений вне спектрального подпространства. Если есть такой внешний резонанс, можно включить резонансную моду в и расширить анализ до более многомерного SSM, относящегося к расширенному спектральному подпространству. Э {\displaystyle E} λ я Э {\displaystyle \lambda _{i}^{E}} Э {\displaystyle E} λ я Э {\displaystyle \lambda _{i}^{E}} А {\displaystyle А} Э {\displaystyle E}

Неавтономное расширение

Теория спектральных подмногообразий распространяется на нелинейные неавтономные системы вида

г х г т = А х + ф 0 ( х ) + ϵ ф 1 ( х , Ω т ) , Ω ∈ Т к ,   0 ≤ ϵ ≪ 1 , {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=Ax+f_{0}(x)+\epsilon f_{1}(x,\Omega t),\quad \Omega \in \mathbb {T} ^{k},\ 0\leq \epsilon \ll 1,}

с квазипериодическим вынуждающим членом. [4 ] ф 1 : Р н × Т к → Р н {\displaystyle f_{1}:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{k}\to \mathbb {R} ^{n}}

Значение

Спектральные подмногообразия полезны для строгого нелинейного снижения размерности в динамических системах. Снижение фазового пространства высокой размерности до многообразия низкой размерности может привести к значительным упрощениям, позволяя точно описывать основное асимптотическое поведение системы. [5] Для известной динамической системы SSM могут быть вычислены аналитически путем решения уравнений инвариантности, а сокращенные модели на SSM могут быть использованы для прогнозирования реакции на воздействие. [6]

Более того, эти многообразия могут быть также извлечены непосредственно из данных траектории динамической системы с использованием алгоритмов машинного обучения. [7]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Джейн, Шобхит; Халлер, Джордж (2022). «Как вычислить инвариантные многообразия и их приведенную динамику в многомерных конечно-элементных моделях». Нелинейная динамика . 107 (2): 1417–1450. doi : 10.1007/s11071-021-06957-4 . hdl : 20.500.11850/519249 . S2CID  232269982.
  2. ^ Халлер, Джордж; Понсиоен, Стен (2016). «Нелинейные нормальные моды и спектральные подмногообразия: существование, уникальность и использование в редукции модели». Нелинейная динамика . 86 (3): 1493–1534. arXiv : 1602.00560 . doi : 10.1007/s11071-016-2974-z. S2CID  44074026.
  3. ^ Кабре, П.; Фонтич, Э.; де ла Льяв, Р. (2003). «Метод параметризации инвариантных многообразий I: многообразий, ассоциированных с нерезонансными спектральными подпространствами». Университет Индианы. Математика. Дж . 52 : 283–328. дои : 10.1512/iumj.2003.52.2245. hdl : 2117/876 .
  4. ^ Haro, A.; de la Llave, R. (2006). «Метод параметризации для вычисления инвариантных торов и их усов в квазипериодических отображениях: строгие результаты». Differ. Equ . 228 (2): 530–579. Bibcode :2006JDE...228..530H. doi :10.1016/j.jde.2005.10.005.
  5. ^ Рега, Джузеппе; Трогер, Ханс (2005). «Уменьшение размерности динамических систем: методы, модели, приложения». Нелинейная динамика . 41 (1–3): 1–15. doi :10.1007/s11071-005-2790-3. S2CID  14728580.
  6. ^ Ponsioen, Sten; Pedergnana, Tiemo; Haller, George (2018). «Автоматизированное вычисление автономных спектральных подмногообразий для нелинейного модального анализа». Journal of Sound and Vibration . 420 : 269–295. arXiv : 1709.00886 . Bibcode : 2018JSV...420..269P. doi : 10.1016/j.jsv.2018.01.048. S2CID  44186335.
  7. ^ Cenedese, Mattia; Axås, Joar; Bäuerlein, Bastian; Avila, Kerstin; Haller, George (2022). «Управляемое данными моделирование и прогнозирование нелинеаризуемой динамики с помощью спектральных подмногообразий». Nature Communications . 13 (1): 872. arXiv : 2201.04976 . Bibcode :2022NatCo..13..872C. doi :10.1038/s41467-022-28518-y. PMC 8847615 . PMID  35169152. 
  • Инструмент для автоматизированного расчета SSM
Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Спектральное_подмногообразие&oldid=1193631700"