Личность Софи Жермен

В математике тождество Софи Жермен — это полиномиальная факторизация, названная в честь Софи Жермен , которая утверждает, что помимо использования в элементарной алгебре , его можно также использовать в теории чисел для факторизации целых чисел специального вида , и оно часто составляет основу задач на математических соревнованиях . ^{[1] [2] [3]}$${\displaystyle {\begin{align}x^{4}+4y^{4}&={\bigl (}(x+y)^{2}+y^{2}{\bigr )}\cdot {\bigl (}(xy)^{2}+y^{2}{\bigr )}\\&=(x^{2}+2xy+2y^{2})\cdot (x^{2}-2xy+2y^{2}).\end{align}}}$$${\displaystyle x^{4}+4y^{4}}$

Хотя тождество приписывалось Софи Жермен, оно не появляется в ее работах. Вместо этого в ее работах можно найти связанное тождество ^{[4] [5]} Изменение этого уравнения путем умножения на дает разницу в два квадрата , из которой следует тождество Жермен. ^[5] Неточное приписывание этого тождества Жермен было сделано Леонардом Эженом Диксоном в его Истории теории чисел , который также утверждал (столь же неверно), что его можно найти в письме Леонарда Эйлера к Кристиану Гольдбаху . ^{[5] [6]}$${\displaystyle {\begin{align}x^{4}+y^{4}&=(x^{2}-y^{2})^{2}+2(xy)^{2}\\&=(x^{2}+y^{2})^{2}-2(xy)^{2}.\\\end{align}}}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$$${\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4(xy)^{2},}$$

Тождество можно доказать, просто перемножив два члена факторизации и проверив, что их произведение равно правой части равенства. ^[7] Доказательство без слов также возможно на основе множественных применений теоремы Пифагора . ^[1]

Одним из следствий тождества Жермен является то, что числа вида не могут быть простыми для . (Для результатом является простое число 5.) Они, очевидно, не являются простыми, если четно, а если нечетно, то они имеют факторизацию, заданную тождеством с и . ^{[3] [7]} Эти числа (начиная с ) образуют целочисленную последовательность$${\displaystyle n^{4}+4^{n}}$$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x=n}$${\displaystyle y=2^{(n-1)/2}}$${\displaystyle n=0}$

Многие из упоминаний личности Софи Жермен на математических конкурсах являются следствием этого факта. ^{[2] [3]}

Другой частный случай тождества с и может быть использован для получения факторизации , где — четвертый циклотомический многочлен . Как и в случае с циклотомическими многочленами в более общем смысле, — неприводимый многочлен , поэтому эта факторизация бесконечного числа его значений не может быть расширена до факторизации как многочлена, что делает это примером аурифейской факторизации . ^[8]${\displaystyle x=1}$${\displaystyle y=2^{k}}$$${\displaystyle {\begin{align}\Phi _{4}(2^{2k+1})&=2^{4k+2}+1\\&=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1),\\\end{align}}}$$${\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}$${\displaystyle \Фи _{4}}$${\displaystyle \Фи _{4}}$

Тождество Жермен было обобщено до функционального уравнения , которому по тождеству Софи Жермен удовлетворяет квадратная функция . ^[4]$${\displaystyle f(x)^{2}+4f(y)^{2}={\bigl (}f(x+y)+f(y){\bigr )}{\bigl (}f(xy)+f(y){\bigr )},}$$