F-распределение

Фишер–Снедекор

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	d 1 , d 2 > 0 градусов свободы
Поддерживать	${\displaystyle x\in (0,+\infty)\;}$если , в противном случае${\displaystyle d_{1}=1}$${\displaystyle x\in [0,+\infty )\;}$
PDF	${\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}$
СДФ	${\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
Иметь в виду	${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}\!}$ для d2 > 2
Режим	${\displaystyle {\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}}$ для d 1 > 2
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2 }(d_{2}-4)}}\!}$ для d2 > 4
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}$ для d2 > 6
Избыточный эксцесс	см. текст
Энтропия	${\displaystyle \ln \Гамма \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)+\ln \Гамма \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)-\ln \Гамма \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\!}$ ${\displaystyle \left(1-{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{1}}{2}}\right)-\left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\psi \left(1+{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)\!}$ ${\displaystyle +\left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)\psi \left({\tfrac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)+\ln {\frac {d_{2}}{d_{1}}}\!}$[1]
МГФ	не существует, сырые моменты определены в тексте и в [2] [3]
CF	см. текст

В теории вероятностей и статистике F -распределение или F - отношение , также известное как F- распределение Снедекора или распределение Фишера–Снедекора (в честь Рональда Фишера и Джорджа У. Снедекора ), представляет собой непрерывное распределение вероятностей , которое часто возникает как нулевое распределение тестовой статистики , особенно в дисперсионном анализе (ANOVA) и других F -тестах . ^{[2] [3] [4] [5]}

F - распределение с d ₁ и d ₂ степенями свободы — это распределение

${\displaystyle X={\frac {U_{1}/d_{1}}{U_{2}/d_{2}}}}$

где и — независимые случайные величины с распределением хи-квадрат с соответствующими степенями свободы и .${\textstyle U_{1}}$${\textstyle U_{2}}$ ${\textstyle d_{1}}$${\textstyle d_{2}}$

Можно показать, что функция плотности вероятности (pdf) для X определяется выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;d_{1},d_{2})&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{выровнено}}}$

для вещественного x > 0. Вот бета -функция . Во многих приложениях параметры d ₁ и d ₂ являются положительными целыми числами , но распределение хорошо определено для положительных вещественных значений этих параметров.${\displaystyle \mathrm {B} }$

Кумулятивная функция распределения имеет вид

${\displaystyle F(x;d_{1},d_{2})=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),}$

где I — регуляризованная неполная бета-функция .

Ожидание, дисперсия и другие данные о F( d ₁ , d ₂ ) приведены в боковой рамке; для d ₂  > 8 избыточный эксцесс равен

${\displaystyle \gamma _{2}=12{\frac {d_{1}(5d_{2}-22)(d_{1}+d_{2}-2)+(d_{2}-4)(d_{2}-2)^{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.}$

k - й момент распределения F( d ₁ , d ₂ ) существует и конечен только тогда, когда 2 k < d ₂ и он равен

${\displaystyle \mu _{X}(k)=\left({\frac {d_{2}}{d_{1}}}\right)^{k}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}+k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{1}}{2}}\right)}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}-k\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}.}$^[6]

F - распределение является частной параметризацией бета -простого распределения , которое также называется бета-распределением второго рода.

Характеристическая функция указана неправильно во многих стандартных ссылках (например, ^[3] ). Правильное выражение ^[7] -

${\displaystyle \varphi _{d_{1},d_{2}}^{F}(s)={\frac {\Gamma \left({\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}}U\!\left({\frac {d_{1}}{2}},1-{\frac {d_{2}}{2}},-{\frac {d_{2}}{d_{1}}}\imath s\right)}$

где U ( a , b , z ) — вырожденная гипергеометрическая функция второго рода.

В случаях, когда используется F -распределение, например, в дисперсионном анализе , независимость и (определенная выше) может быть продемонстрирована путем применения теоремы Кохрана .${\displaystyle U_{1}}$${\displaystyle U_{2}}$

Эквивалентно, поскольку распределение хи-квадрат является суммой квадратов независимых стандартных нормальных случайных величин, случайная величина F -распределения также может быть записана

${\displaystyle X={\frac {s_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}\div {\frac {s_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}},}$

где и , — сумма квадратов случайных величин из нормального распределения , — сумма квадратов случайных величин из нормального распределения .${\displaystyle s_{1}^{2}={\frac {S_{1}^{2}}{d_{1}}}}$${\displaystyle s_{2}^{2}={\frac {S_{2}^{2}}{d_{2}}}}$${\displaystyle S_{1}^{2}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle N(0,\sigma _{1}^{2})}$${\displaystyle S_{2}^{2}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle N(0,\sigma _{2}^{2})}$

В частотном контексте масштабированное F -распределение, таким образом, дает вероятность , с самим F -распределением, без какого-либо масштабирования, применяемым, где принимается равным . Это контекст, в котором F -распределение чаще всего появляется в F -тестах : где нулевая гипотеза заключается в том, что две независимые нормальные дисперсии равны, и затем исследуются наблюдаемые суммы некоторых надлежащим образом выбранных квадратов, чтобы увидеть, является ли их отношение существенно несовместимым с этой нулевой гипотезой.${\displaystyle p(s_{1}^{2}/s_{2}^{2}\mid \sigma _{1}^{2},\sigma _{2}^{2})}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$

Величина имеет то же самое распределение в байесовской статистике, если для априорных вероятностей и берется неинформативное инвариантное к масштабированию априорное распределение Джеффриса. [ 8 ^] В этом контексте масштабированное F -распределение, таким образом, дает апостериорную вероятность , где наблюдаемые суммы и теперь принимаются как известные.${\displaystyle X}$${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{2}^{2}}$${\displaystyle p(\sigma _{2}^{2}/\sigma _{1}^{2}\mid s_{1}^{2},s_{2}^{2})}$${\displaystyle s_{1}^{2}}$${\displaystyle s_{2}^{2}}$

• Если и ( распределение хи-квадрат ) независимы , то${\displaystyle X\sim \chi _{d_{1}}^{2}}$${\displaystyle Y\sim \chi _{d_{2}}^{2}}$${\displaystyle {\frac {X/d_{1}}{Y/d_{2}}}\sim \mathrm {F} (d_{1},d_{2})}$
• Если ( гамма-распределение ) независимы, то${\displaystyle X_{k}\sim \Gamma (\alpha _{k},\beta _{k})\,}$${\displaystyle {\frac {\alpha _{2}\beta _{1}X_{1}}{\alpha _{1}\beta _{2}X_{2}}}\sim \mathrm {F} (2\alpha _{1},2\alpha _{2})}$
• Если ( Бета-распределение ), то${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$${\displaystyle {\frac {d_{2}X}{d_{1}(1-X)}}\sim \operatorname {F} (d_{1},d_{2})}$
• Эквивалентно, если , то .${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle {\frac {d_{1}X/d_{2}}{1+d_{1}X/d_{2}}}\sim \operatorname {Beta} (d_{1}/2,d_{2}/2)}$
• Если , то имеет бета-простое распределение : .${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X}$${\displaystyle {\frac {d_{1}}{d_{2}}}X\sim \operatorname {\beta ^{\prime }} \left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right)}$
• Если тогда имеет распределение хи-квадрат${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle Y=\lim _{d_{2}\to \infty }d_{1}X}$ ${\displaystyle \chi _{d_{1}}^{2}}$
• ${\displaystyle F(d_{1},d_{2})}$эквивалентно масштабированному распределению T-квадрат Хотеллинга .${\displaystyle {\frac {d_{2}}{d_{1}(d_{1}+d_{2}-1)}}\operatorname {T} ^{2}(d_{1},d_{1}+d_{2}-1)}$
• Если тогда .${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle X^{-1}\sim F(d_{2},d_{1})}$
• Если — распределение Стьюдента — то:${\displaystyle X\sim t_{(n)}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}X^{2}&\sim \operatorname {F} (1,n)\\X^{-2}&\sim \operatorname {F} (n,1)\end{aligned}}}$$
• F -распределение является частным случаем распределения Пирсона типа 6.
• Если и независимы, с Лапласом( μ , b ), то${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,Y\sim }$ $${\displaystyle {\frac {|X-\mu |}{|Y-\mu |}}\sim \operatorname {F} (2,2)}$$
• Если тогда ( z-распределение Фишера )${\displaystyle X\sim F(n,m)}$${\displaystyle {\tfrac {\log {X}}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)}$
• Нецентральное F -распределение упрощается до F -распределения , если .${\displaystyle \lambda =0}$
• Дважды нецентральное F -распределение упрощается до F -распределения, если${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}=0}$
• Если — квантиль p для , а — квантиль для , то${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)}$${\displaystyle X\sim F(d_{1},d_{2})}$${\displaystyle \operatorname {Q} _{Y}(1-p)}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle Y\sim F(d_{2},d_{1})}$$${\displaystyle \operatorname {Q} _{X}(p)={\frac {1}{\operatorname {Q} _{Y}(1-p)}}.}$$
• F -распределение является примером пропорционального распределения.
• W -распределение ^[9] является уникальной параметризацией F-распределения.

• Таблица критических значений F-распределения
• Самые ранние примеры использования некоторых слов из математики: статья о F-распределении содержит краткую историю
• Бесплатный калькулятор для F-тестирования