Плавный шаг

Smoothstep — это семейство сигмовидных интерполяционных и ограничивающих функций, обычно используемых в компьютерной графике , ^{[1] [2]} игровых движках , ^[3] и машинном обучении . ^[4]

Функция зависит от трех параметров: входного x , «левого края» и «правого края», причем левый край предполагается меньшим, чем правый край. Функция получает вещественное число x в качестве аргумента и возвращает 0, если x меньше или равен левому краю, 1, если x больше или равен правому краю, и плавно интерполирует, используя полином Эрмита , между 0 и 1 в противном случае. Градиент функции smoothstep равен нулю на обоих краях. Это удобно для создания последовательности переходов с использованием smoothstep для интерполяции каждого сегмента в качестве альтернативы использованию более сложных или дорогих методов интерполяции.

В HLSL и GLSL smoothstep реализует кубическую интерполяцию Эрмита после фиксации :${\displaystyle \operatorname {S} _{1}(x)}$

${\displaystyle \operatorname {smoothstep} (x)=S_{1}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0\\3x^{2}-2x^{3},&0\leq x\leq 1\\1,&1\leq x\\\end{cases}}}$

Предположим, что левый край равен 0, правый край равен 1, причем переход между краями происходит там, где 0 ≤ x ≤ 1.

Ниже приведен пример реализации модифицированного C/C++, предоставленный AMD ^[5] .

float smoothstep ( float edge0 , float edge1 , float x ) { // Масштабируем и фиксируем x в диапазоне 0..1 x = clamp (( x - edge0 ) / ( edge1 - edge0 ));                   вернуть х * х * ( 3.0f - 2.0f * х ); }         float clamp ( float x , float нижний предел = 0.0f , float верхний предел = 1.0f ) { if ( x < нижний предел ) return нижний предел ; if ( x > верхний предел ) return верхний предел ; return x ; }                         

Общая форма для smoothstep , снова предполагая, что левый край равен 0, а правый край равен 1, имеет вид

${\displaystyle \operatorname {S} _{n}(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x\leq 0\\x^{n+1}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n+k}{k}}{\binom {2n+1}{nk}}(-x)^{k},&{\text{if }}0\leq x\leq 1\\1,&{\text{if }}1\leq x\\\end{cases}}}$

${\displaystyle \operatorname {S} _{0}(x)}$идентична функции зажима :

${\displaystyle \operatorname {S} _{0}(x)={\begin{cases}0,&{\text{if }}x\leq 0\\x,&{\text{if }}0\leq x\leq 1\\1,&{\text{if }}1\leq x\\\end{cases}}}$

Характерная S-образная сигмоидальная кривая получается только при целых числах n ≥ 1. Порядок полинома в общем гладком шаге равен 2 n + 1. При n = 1 наклоны или первые производные гладкого шага равны нулю на левом и правом краю ( x = 0 и x = 1), где кривая присоединяется к постоянным или насыщенным уровням. При более высоком целом числе n вторые и более высокие производные равны нулю на краях, что делает полиномиальные функции максимально плоскими, а сращивание с предельными значениями 0 или 1 более плавным.${\displaystyle \operatorname {S} _{n}(x)}$

Кен Перлин предложил ^[6] улучшенную версию обычно используемой функции первого порядка smoothstep, эквивалентную второму порядку ее общей формы. Она имеет нулевые производные 1-го и 2-го порядка при x = 0 и x = 1:

${\displaystyle \operatorname {smootherstep} (x)=S_{2}(x)={\begin{cases}0,&x\leq 0\\6x^{5}-15x^{4}+10x^{3},&0\leq x\leq 1\\1,&1\leq x\\\end{cases}}}$

Реализация эталона C/C++:

float smootherstep ( float edge0 , float edge1 , float x ) { // Масштабируем и фиксируем x в диапазоне 0..1 x = clamp (( x - edge0 ) / ( edge1 - edge0 ));                  вернуть х * х * х * ( х * ( 6.0f * х - 15.0f ) + 10.0f ); }               float clamp ( float x , float нижний предел = 0.0f , float верхний предел = 1.0f ) { if ( x < нижний предел ) return нижний предел ; if ( x > верхний предел ) return верхний предел ; return x ; }                         

Начнем с общей полиномиальной функции третьего порядка и ее первой производной :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\operatorname {S} _{1}(x)&&\;=\;&&a_{3}x^{3}&&\;+\;&&a_{2}x^{2}&&\;+\;&&a_{1}x&&\;+\;&&a_{0},&\\\operatorname {S} _{1}'(x)&&\;=\;&&3a_{3}x^{2}&&\;+\;&&2a_{2}x&&\;+\;&&a_{1}.&\end{alignedat}}}$

Применяем желаемые значения для функции в обеих конечных точках:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}\operatorname {S} _{1}(0)&&\;=\;&&0\quad &&\Rightarrow &&\quad 0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;a_{0}&&\;=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{1}(1)&&\;=\;&&1\quad &&\Rightarrow &&\quad a_{3}\;&&+&&\;a_{2}\;&&+&&\;a_{1}\;&&+&&\;a_{0}&&\;=\;&&1.&\end{alignedat}}}$

Применяем требуемые значения для первой производной функции в обеих конечных точках:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{11}\operatorname {S} _{1}'(0)&&\;=\;&&0\quad &&\Rightarrow &&\quad 0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;a_{1}\;&&=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{1}'(1)&&\;=\;&&0\quad &&\Rightarrow &&\quad 3a_{3}\;&&+&&\;2a_{2}\;&&+&&\;a_{1}\;&&=\;&&0.&\end{alignedat}}}$

Решение системы из 4 неизвестных, образованной последними 4 уравнениями, приводит к значениям коэффициентов полинома:

${\displaystyle a_{0}=0,\quad a_{1}=0,\quad a_{2}=3,\quad a_{3}=-2.}$

В результате получается функция «smoothstep» третьего порядка :

${\displaystyle \operatorname {S} _{1}(x)=-2x^{3}+3x^{2}.}$

Начнем с общей полиномиальной функции пятого порядка, ее первой производной и второй производной:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{13}\operatorname {S} _{2}(x)&&\;=\;&&a_{5}x^{5}&&\;+\;&&a_{4}x^{4}&&\;+\;&&a_{3}x^{3}&&\;+\;&&a_{2}x^{2}&&\;+\;&&a_{1}x&&\;+\;&&a_{0},&\\\operatorname {S} _{2}'(x)&&\;=\;&&5a_{5}x^{4}&&\;+\;&&4a_{4}x^{3}&&\;+\;&&3a_{3}x^{2}&&\;+\;&&2a_{2}x&&\;+\;&&a_{1},&\\\operatorname {S} _{2}''(x)&&\;=\;&&20a_{5}x^{3}&&\;+\;&&12a_{4}x^{2}&&\;+\;&&6a_{3}x&&\;+\;&&2a_{2}.&\end{alignedat}}}$

Применяем желаемые значения для функции в обеих конечных точках:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{17}\operatorname {S} _{2}(0)&&\;=\;&&0\;\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;a_{0}&&\;=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{2}(1)&&\;=\;&&1\;\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;\;a_{5}\;&&+&&\;a_{4}\;&&+&&\;a_{3}\;&&+&&\;a_{2}\;&&+&&\;a_{1}\;&&+&&\;a_{0}&&\;=\;&&1.&\end{alignedat}}}$

Применяем требуемые значения для первой производной функции в обеих конечных точках:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{15}\operatorname {S} _{2}'(0)&&\;=\;&&0\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;a_{1}\;&&=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{2}'(1)&&\;=\;&&0\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;5a_{5}\;&&+&&\;4a_{4}\;&&+&&\;3a_{3}\;&&+&&\;2a_{2}\;&&+&&\;a_{1}\;&&=\;&&0.&\end{alignedat}}}$

Применяем желаемые значения для второй производной функции в обеих конечных точках:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{15}\operatorname {S} _{2}''(0)&&\;=\;&&0\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;0\;&&+&&\;2a_{2}\;&&=\;&&0,&\\\operatorname {S} _{2}''(1)&&\;=\;&&0\;\;\;\;&&\Rightarrow &&\;\;\;\;20a_{5}\;&&+&&\;12a_{4}\;&&+&&\;6a_{3}\;&&+&&\;2a_{2}\;&&=\;&&0.&\end{alignedat}}}$

Решение системы из 6 неизвестных, образованной последними 6 уравнениями, приводит к значениям коэффициентов полинома:

${\displaystyle a_{0}=0,\quad a_{1}=0,\quad a_{2}=0,\quad a_{3}=10,\quad a_{4}=-15,\quad a_{5}=6.}$

В результате получается функция «smootherstep» пятого порядка :

${\displaystyle \operatorname {S} _{2}(x)=6x^{5}-15x^{4}+10x^{3}.}$

Применяя аналогичные методы, получаем уравнение 7-го порядка:

${\displaystyle \operatorname {S} _{3}(x)=-20x^{7}+70x^{6}-84x^{5}+35x^{4}.}$

Многочлены Smoothstep обобщаются, при этом 0 ≤ x ≤ 1

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {S} _{N}(x)&=x^{N+1}\sum _{n=0}^{N}{\binom {N+n}{n}}{\binom {2N+1}{N-n}}(-x)^{n}\qquad N\in \mathbb {N} \\&=\sum _{n=0}^{N}(-1)^{n}{\binom {N+n}{n}}{\binom {2N+1}{N-n}}x^{N+n+1}\\&=\sum _{n=0}^{N}{\binom {-N-1}{n}}{\binom {2N+1}{N-n}}x^{N+n+1},\\\end{aligned}}}$

где N определяет порядок результирующей полиномиальной функции, который равен 2 N + 1. Первые семь полиномов smoothstep, при 0 ≤ x ≤ 1, равны

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {S} _{0}(x)&=x,\\\operatorname {S} _{1}(x)&=-2x^{3}+3x^{2},\\\operatorname {S} _{2}(x)&=6x^{5}-15x^{4}+10x^{3},\\\operatorname {S} _{3}(x)&=-20x^{7}+70x^{6}-84x^{5}+35x^{4},\\\operatorname {S} _{4}(x)&=70x^{9}-315x^{8}+540x^{7}-420x^{6}+126x^{5},\\\operatorname {S} _{5}(x)&=-252x^{11}+1386x^{10}-3080x^{9}+3465x^{8}-1980x^{7}+462x^{6},\\\operatorname {S} _{6}(x)&=924x^{13}-6006x^{12}+16380x^{11}-24024x^{10}+20020x^{9}-9009x^{8}+1716x^{7}.\\\end{aligned}}}$

Дифференциал равен${\displaystyle \operatorname {S} _{N}(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {d \over dx} {S}_{N}(x)&=(2N+1){\binom {2N}{N}}(x-x^{2})^{N}.\\\end{aligned}}}$

Можно показать, что полиномы smoothstep , которые переходят от 0 к 1, когда x переходит от 0 к 1, можно просто отобразить в полиномы нечетной симметрии${\displaystyle \operatorname {S} _{N}(x)}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{N}(x)=\left(\int _{0}^{1}{\big (}1-u^{2}{\big )}^{N}\,du\right)^{-1}\int _{0}^{x}{\big (}1-u^{2}{\big )}^{N}\,du,}$

где

${\displaystyle \operatorname {S} _{N}(x)={\tfrac {1}{2}}\operatorname {R} _{N}(2x-1)+{\tfrac {1}{2}}}$

и

${\displaystyle \operatorname {R} _{N}(-x)=-\operatorname {R} _{N}(x).}$

Аргумент RN ₍ x ) равен −1 ≤ x ≤ 1 и добавляется к константе −1 слева и +1 справа.

Реализация на Javascript: ^[7]${\displaystyle \operatorname {S} _{N}(x)}$

// Обобщенная функция smoothstep generalSmoothStep ( N , x ) { x = clamp ( x , 0 , 1 ); // x должен быть равен или находиться в диапазоне от 0 до 1 var result = 0 ; for ( var n = 0 ; n < = N ; ++ n ) result + = pascalTriangle ( -N - 1 , n ) * pascalTriangle ( 2 * N + 1 , N - n ) * Math.pow ( x , N + n + 1 ) ; return result ; }                                              // Возвращает биномиальный коэффициент без явного использования факториалов, // которые нельзя использовать с отрицательными целыми числами function pascalTriangle ( a , b ) { var result = 1 ; for ( var i = 0 ; i < b ; ++ i ) result *= ( a - i ) / ( i + 1 ); return result ; }                            функция clamp ( x , нижний предел , верхний предел ) { если ( x < нижний предел ) x = нижний предел ; если ( x > верхний предел ) x = верхний предел ; вернуть x ; }                    

Обратное значение smoothstep() может быть полезным при выполнении определенных операций в компьютерной графике, когда его эффект необходимо обратить или компенсировать. В случае уравнения 3-го порядка существует аналитическое решение для обратного значения, которое выглядит так:

${\displaystyle \operatorname {InvS} _{1}(x)=1/2-\sin(\operatorname {asin} (1-2x)/3)}$

Это возникает как обратная функция , ряд Маклорена которой заканчивается в , что означает и выражает ту же функцию. С другой стороны, разложение в ряд обратной функции не заканчивается.${\displaystyle \operatorname {f} (x)=1/2-\sin(3\operatorname {asin} (0.5-x))/2}$${\displaystyle 3x^{2}-2x^{3}=S_{1}(x)}$${\displaystyle \operatorname {f} }$${\displaystyle \operatorname {S} _{1}}$

В ГЛСЛ:

float inverse_smoothstep ( float x ) { return 0.5 - sin ( asin ( 1.0 - 2.0 * x ) / 3.0 ); }             

• Использование Smoothstep (в RenderMan Shading Language ) профессора Малкольма Кессона.
• Трюки интерполяции от Яри Комппы
• Swift Interpolation Playground демонстрирует smoothStep() , smootherStep() и smoothestStep() в Swift Playground Саймона Гладмана
• Обратный сглаженный шаг Иниго Килеса