Плавная схема

В алгебраической геометрии гладкая схема над полем — это схема , которая хорошо аппроксимируется аффинным пространством вблизи любой точки. Гладкость — один из способов уточнения понятия схемы без особых точек. Частным случаем является понятие гладкого многообразия над полем. Гладкие схемы играют роль в алгебраической геометрии многообразий в топологии.

Сначала пусть X — аффинная схема конечного типа над полем k . Эквивалентно, X имеет замкнутое погружение в аффинное пространство A ⁿ над k для некоторого натурального числа n . Тогда X — замкнутая подсхема, определяемая некоторыми уравнениями g ₁ = 0, ..., g _r = 0, где каждый g _i принадлежит кольцу полиномов k [ x ₁ ,..., x _n ]. Аффинная схема X является гладкой размерности m над k , если X имеет размерность не менее m в окрестности каждой точки, а матрица производных (∂ g _i /∂ x _j ) имеет ранг не менее n − m всюду на X. ^[1] (Отсюда следует, что X имеет размерность, равную m, в окрестности каждой точки . ) Гладкость не зависит от выбора погружения X в аффинное пространство.

Условие на матрицу производных понимается так, что замкнутое подмножество X , где все ( n − m ) × ( n − m ) миноров матрицы производных равны нулю, является пустым множеством. Эквивалентно, идеал в кольце многочленов, порожденный всеми g _i и всеми этими минорами, является всем кольцом многочленов.

В геометрических терминах матрица производных (∂ g _i /∂ x _j ) в точке p в X дает линейное отображение F ⁿ → F ^r , где F — поле вычетов p . Ядро этого отображения называется касательным пространством Зарисского для X в p . Гладкость X означает, что размерность касательного пространства Зарисского равна размерности X вблизи каждой точки; в особой точке касательное пространство Зарисского будет больше.

В более общем случае схема X над полем k является гладкой над k, если каждая точка X имеет открытую окрестность, которая является гладкой аффинной схемой некоторой размерности над k . В частности, гладкая схема над k локально имеет конечный тип .

Существует более общее понятие гладкого морфизма схем, который является примерно морфизмом с гладкими слоями. В частности, схема X является гладкой над полем k тогда и только тогда, когда морфизм X → Spec k является гладким.

Гладкая схема над полем регулярна и, следовательно, нормальна . В частности, гладкая схема над полем приведена .

Определим многообразие над полем k как целочисленную отделимую схему конечного типа над k . Тогда любая гладкая отделимая схема конечного типа над k является конечным дизъюнктным объединением гладких многообразий над k .

Для гладкого многообразия X над комплексными числами пространство X ( C ) комплексных точек X является комплексным многообразием , использующим классическую (евклидову) топологию. Аналогично, для гладкого многообразия X над действительными числами пространство X ( R ) действительных точек является действительным многообразием , возможно пустым.

Для любой схемы X , которая локально имеет конечный тип над полем k , существует когерентный пучок Ω ¹ дифференциалов на X. Схема X является гладкой над k тогда и только тогда, когда Ω ¹ является векторным расслоением ранга, равного размерности X вблизи каждой точки. [ 2 ^] В этом случае Ω ¹ называется кокасательным расслоением X. Касательное расслоение гладкой схемы над k можно определить как двойственное расслоение, TX = (Ω ¹ ) ^* .

Гладкость — это геометрическое свойство , означающее, что для любого расширения поля E поля k схема X является гладкой над k тогда и только тогда, когда схема X _E  := X × _{Spec k} Spec E является гладкой над E. Для совершенного поля k схема X является гладкой над k тогда и только тогда, когда X локально имеет конечный тип над k и X является регулярным .

Говорят, что схема X является генерически гладкой размерности n над k , если X содержит открытое плотное подмножество, которое является гладким размерности n над k . Каждое многообразие над совершенным полем (в частности, алгебраически замкнутым полем) является генерически гладким. ^[3]

• Аффинное пространство и проективное пространство являются гладкими схемами над полем k .
• Примером гладкой гиперповерхности в проективном пространстве P ⁿ над k является гиперповерхность Ферма x ₀ ^d + ... + x _n ^d = 0 для любого положительного целого числа d , обратимого относительно k .
• Примером сингулярной (негладкой) схемы над полем k является замкнутая подсхема x ² = 0 в аффинной прямой A ¹ над k .
• Примером особого (негладкого) многообразия над k является кубическая каспидальна кривая x ² = y ³ в аффинной плоскости A ² , которая является гладкой вне начала координат ( x , y ) = (0,0).
• 0-мерное многообразие X над полем k имеет вид X = Spec E , где E — конечное поле расширения поля k . Многообразие X является гладким над k тогда и только тогда, когда E является сепарабельным расширением поля k . Таким образом, если E не является сепарабельным над k , то X является регулярной схемой, но не является гладким над k . Например, пусть k — поле рациональных функций F _p ( t ) для простого числа p , и пусть E = F _p ( t ^{1/ p} ); тогда Spec E — многообразие размерности 0 над k , которое является регулярной схемой, но не является гладким над k .
• Сорта Шуберта, как правило, не являются гладкими.

• Заметки Д. Гейтсгори о плоскостности и гладкости на http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Мацумура, Хидеюки (1989), Теория коммутативных колец , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6, МР  1011461

• Этальный морфизм
• Размерность алгебраического многообразия
• Глоссарий теории схем
• Плавное завершение