Гипотеза сестры Бейтер
Гипотеза о коэффициентах циклотомических полиномов

В математике гипотеза сестры Бейтер — это гипотеза о размере коэффициентов тернарных циклотомических многочленов (т.е. где индекс — произведение трех простых чисел). Она названа в честь Мэрион Бейтер , католической монахини, которая впервые предложила ее в 1968 году. [1]

Фон

Для максимального коэффициента (по абсолютной величине) циклотомического полинома обозначим . н ∈ Н > 0 {\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>0}} Ф н ( х ) {\displaystyle \Фи _{n}(x)} А ( н ) {\displaystyle А(н)}

Пусть — три простых числа. В этом случае циклотомический многочлен называется тернарным . В 1895 году А. С. Банг [2] доказал, что . Это подразумевает существование такого, что . 3 ≤ п ≤ д ≤ г {\displaystyle 3\leq p\leq q\leq r} Ф п д г ( х ) {\displaystyle \Phi _{pqr}(x)} А ( п д г ) ≤ п − 1 {\displaystyle A(pqr)\leq p-1} М ( п ) := макс п ≤ д ≤ г  основной А ( п д г ) {\displaystyle M(p):=\max \limits _{p\leq q\leq r{\text{ prime}}}A(pqr)} 1 ≤ М ( п ) ≤ п − 1 {\displaystyle 1\leq M(p)\leq p-1}

Заявление

Сестра Бейтер предположила [1] в 1968 году, что . Позднее это было опровергнуто, но была выдвинута исправленная гипотеза сестры Бейтер как . М ( п ) ≤ п + 1 2 {\displaystyle M(p)\leq {\frac {p+1}{2}}} М ( п ) ≤ 2 3 п {\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p}

Статус

Препринт [3] от 2023 года подробно объясняет историю и утверждает, что доказывает эту исправленную гипотезу. Явно утверждается, что доказывает М ( п ) ≤ 2 3 п  и  лим п → ∞ М ( п ) п = 2 3 . {\displaystyle M(p)\leq {\frac {2}{3}}p{\text{ и }}\lim \limits _{p\rightarrow \infty }{\frac {M(p)}{p}}={\frac {2}{3}}.}

Ссылки

  1. ^ ab Beiter, Marion (апрель 1968). «Величина коэффициентов циклотомического многочлена ». The American Mathematical Monthly . 75 (4): 370–372. doi :10.2307/2313416. JSTOR  2313416. Ф п д г ( х ) {\displaystyle F_{pqr}(x)}
  2. ^ Банг, А.С. (1895). «Ом Линнинген ». Тидсскр. Математика . 6 :6–12. Ф н ( х ) = 0 {\displaystyle \Phi _{n}(x)=0}
  3. ^ Юран, Бранко; Мори, Питер; Рикерт, Адриан; Шмитц, Дэвид; Фёльмекке, Джулиан (2023). «Доказательство исправленной гипотезы о циклотомическом коэффициенте сестры Бейтер, вдохновленное Чжао и Чжаном». arXiv : 2304.09250 [math.NT].
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Sister_Beiter_conjecture&oldid=1178264492"