Извилистость

Отношение длины дуги к расстоянию по прямой между двумя точками волнообразной функции

Расчет **извилистости** для колеблющейся кривой.

Серпантин на горной дороге с высокой извилистостью в Луз-Ардиден

Извилистая *река Рио-Кауто* в Гуамо-Эмбаркадеро , Куба , не идет по кратчайшему пути вниз по склону. Поэтому ее **индекс извилистости** > 1.

Извилистость , индекс извилистости или коэффициент извилистости непрерывно дифференцируемой кривой , имеющей хотя бы одну точку перегиба , представляет собой отношение криволинейной длины ( вдоль кривой) к евклидову расстоянию ( прямой линии ) между конечными точками кривой. Эту безразмерную величину можно также перефразировать как «фактическая длина пути», деленная на «кратчайшую длину пути» кривой. Значение варьируется от 1 (случай прямой линии) до бесконечности (случай замкнутого контура, где кратчайшая длина пути равна нулю для бесконечно длинного фактического пути ^[1] ).

Интерпретация

Кривая должна быть непрерывной (без скачков) между двумя концами. Значение извилистости действительно значимо, когда линия непрерывно дифференцируема (без угловой точки). Расстояние между обоими концами также может быть оценено с помощью множества сегментов в соответствии с ломаной линией, проходящей через последовательные точки перегиба (извилистость 2-го порядка).

Расчет извилистости действителен в трехмерном пространстве (например, для центральной оси тонкой кишки ), хотя часто его выполняют в плоскости (с возможной ортогональной проекцией кривой в выбранном плане; «классическая» извилистость на горизонтальной плоскости, продольная профильная извилистость на вертикальной плоскости).

Классификация извилистости (например, сильная/слабая) часто зависит от картографического масштаба кривой (см. парадокс береговой линии для получения более подробной информации) и скорости объекта, который течет через нее (река, лавина, автомобиль, велосипед, бобслей, лыжник, высокоскоростной поезд и т. д.): извилистость одной и той же кривой линии можно считать очень сильной для высокоскоростного поезда, но низкой для реки. Тем не менее, можно увидеть очень сильную извилистость в последовательности нескольких изгибов реки или кружев на некоторых горных дорогах.

Известные ценности

Извилистость S :

2 перевернутых непрерывных полуокружности, расположенных в одной плоскости, равны . Не зависит от радиуса окружности; $S={\tfrac {\pi }{2}}\approx 1,5708...$
функция синуса (за целое число n полупериодов), которая может быть вычислена путем вычисления длины дуги синусоиды на этих периодах, равна $S=\textstyle {\tfrac {1}{n\pi }}\int _{0}^{n\pi }{\sqrt {1+(\cos x)^{2}}}dx\approx 1,216...$

С подобными противоположными дугами, сочлененными в одной плоскости, непрерывно дифференцируемыми:

Центральный угол		Извилистость
Степени	Радианы	Точный	Десятичная дробь
30°	${\frac {\pi }{6}}$	${\frac {\pi}{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}$	1.0115
60°	${\frac {\pi }{3}}$	${\frac {\pi }{3}}$	1.0472
90°	${\frac {\pi }{2}}$	${\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$	1.1107
120°	${\frac {2\cdot \pi {3}}$	${\frac {2\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}$	1.2092
150°	${\frac {5\cdot \pi {6}}$	${\frac {5\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}$	1.3552
180°	$\пи$	${\frac {\pi }{2}}$	1.5708
210°	${\frac {7\cdot \pi }{6}}$	${\frac {7\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})}}$	1.8972
240°	${\frac {4\cdot \pi {3}}$	${\frac {4\cdot \pi }{3{\sqrt {3}}}}$	2.4184
270°	${\frac {3\cdot \pi {2}}$	${\frac {3\cdot \pi }{2{\sqrt {2}}}}$	3.3322
300°	${\frac {5\cdot \pi {3}}$	${\frac {5\cdot \pi {3}}$	5.2360
330°	${\frac {11\cdot \pi {6}}$	${\frac {11\cdot \pi }{3({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})}}$	11.1267

Реки

При изучении рек индекс извилистости аналогичен, но не идентичен общей форме, приведенной выше, и определяется по формуле:

{\text{SI}}={\frac {\text{channel length}}{\text{downvalley length}}}

Отличие от общей формы происходит из-за того, что путь вниз по долине не идеально прямой. Индекс извилистости можно объяснить, таким образом, как отклонения от пути, определяемого направлением максимального спуска. По этой причине коренные потоки, текущие прямо вниз по склону, имеют индекс извилистости 1, а извилистые потоки имеют индекс извилистости больше 1. ^[2]

Также можно выделить случай, когда поток, текущий по линии, физически не может преодолеть расстояние между концами: в некоторых гидравлических исследованиях это приводит к присвоению значения извилистости 1 для потока, текущего по каменистому основанию вдоль горизонтальной прямолинейной проекции, даже если угол наклона изменяется.

Для рек общепринятыми классами извилистости, SI, являются:

SI <1,05: почти прямой
1,05 ≤ SI <1,25: обмотка
1,25 ≤ SI <1,50: извилистый
1,50 ≤ SI: извилистый

Утверждалось, что формы рек управляются самоорганизующейся системой , которая обуславливает их среднюю извилистость (измеренную в терминах расстояния от истока до устья, а не длины русла) равную $π$ ^[3], но это не было подтверждено более поздними исследованиями, которые обнаружили среднее значение менее 2. ^[4]

Смотрите также

Ссылки

^ Леопольд, Луна Б., Вольман, М. Г. и Миллер, Дж. П., 1964, Речные процессы в геоморфологии, Сан-Франциско, WH Freeman and Co., 522 стр.
^ Мюллер, Джерри (1968). «Введение в гидравлические и топографические индексы извилистости1». Анналы Ассоциации американских географов . 58 (2): 371–385. doi :10.1111/j.1467-8306.1968.tb00650.x.
^ Столум, Ханс-Хенрик (1996), «Меандрирование реки как процесс самоорганизации», Science , 271 (5256): 1710–1713, Bibcode : 1996Sci...271.1710S, doi : 10.1126/science.271.5256.1710, S2CID 19219185 .
↑ Грайм, Джеймс (14 марта 2015 г.), «Извилистая история: правда о числе пи и реках», Приключения Алекса Беллоса в стране чисел, The Guardian.

[1] Леопольд, Луна Б., Вольман, М. Г. и Миллер, Дж. П., 1964, Речные процессы в геоморфологии, Сан-Франциско, WH Freeman and Co., 522 стр.

[2] Мюллер, Джерри (1968). «Введение в гидравлические и топографические индексы извилистости1». Анналы Ассоциации американских географов . 58 (2): 371–385. doi :10.1111/j.1467-8306.1968.tb00650.x.

[3] Столум, Ханс-Хенрик (1996), «Меандрирование реки как процесс самоорганизации», Science , 271 (5256): 1710–1713, Bibcode : 1996Sci...271.1710S, doi : 10.1126/science.271.5256.1710, S2CID 19219185 .

[4] Грайм, Джеймс (14 марта 2015 г.), «Извилистая история: правда о числе пи и реках», Приключения Алекса Беллоса в стране чисел, The Guardian.