Единственное решение

Сингулярное решение y _s ( x ) обыкновенного дифференциального уравнения — это решение, которое является сингулярным или для которого задача начального значения (также называемая некоторыми авторами задачей Коши) не имеет единственного решения в некоторой точке решения. Множество, на котором решение является сингулярным, может быть таким же малым, как одна точка, или таким же большим, как полная вещественная прямая. Решения, которые являются сингулярными в том смысле, что задача начального значения не имеет единственного решения, не обязательно должны быть сингулярными функциями .

В некоторых случаях термин «сингулярное решение» используется для обозначения решения, при котором в каждой точке кривой наблюдается нарушение единственности задачи начального значения. В этом более сильном смысле сингулярное решение часто задается как касательная к каждому решению из семейства решений. Под касательной мы подразумеваем, что существует точка x , где y _s ( x ) = y _c ( x ) и y' _s ( x ) = y' _c ( x ), где y _c — решение в семействе решений, параметризованном с . Это означает, что сингулярное решение является огибающей семейства решений.

Обычно сингулярные решения появляются в дифференциальных уравнениях, когда необходимо разделить член, который может быть равен нулю . Поэтому, когда решается дифференциальное уравнение и используется деление, необходимо проверить, что произойдет, если член равен нулю, и приведет ли это к сингулярному решению. Теорема Пикара–Линделёфа , которая дает достаточные условия для существования уникальных решений, может быть использована для исключения существования сингулярных решений. Другие теоремы, такие как теорема о существовании Пеано , дают достаточные условия для существования решений, не обязательно являющихся уникальными, что может допускать существование сингулярных решений.

Рассмотрим однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение

${\displaystyle xy'(x)+2y(x)=0,\,\!}$

где штрихи обозначают производные по x . Общее решение этого уравнения:

${\displaystyle y(x)=Cx^{-2}.\,\!}$

Для заданного это решение гладкое, за исключением того, где решение расходится. Более того, для заданного это единственное решение, проходящее через .${\displaystyle С}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\not =0}$${\displaystyle (x,y(x))}$

Рассмотрим дифференциальное уравнение

${\displaystyle y'(x)^{2}=4y(x).\,\!}$

Однопараметрическое семейство решений этого уравнения задается формулой

${\displaystyle y_{c}(x)=(xc)^{2}.\,\!}$

Другое решение дано

${\displaystyle y_{s}(x)=0.\,\!}$

Поскольку изучаемое уравнение является уравнением первого порядка, начальными условиями являются начальные значения x и y . Рассматривая два набора решений выше, можно увидеть, что решение не является единственным, когда . (Можно показать, что для если выбрана одна ветвь квадратного корня, то существует локальное решение, которое является единственным, используя теорему Пикара–Линделёфа .) Таким образом, все решения выше являются сингулярными решениями, в том смысле, что решение не является единственным в окрестности одной или нескольких точек. (Обычно мы говорим, что «единственность нарушается» в этих точках.) Для первого набора решений единственность нарушается в одной точке, , а для второго решения единственность нарушается при каждом значении . Таким образом, решение является сингулярным решением в более сильном смысле, что единственность нарушается при каждом значении x . Однако это не сингулярная функция , поскольку она и все ее производные непрерывны.${\displaystyle у=0}$${\displaystyle у>0}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y_{s}}$

В этом примере решение является огибающей семейства решений . Решение касается каждой кривой в точке .${\displaystyle y_{s}(x)=0}$${\displaystyle y_{c}(x)=(xc)^{2}}$${\displaystyle y_{s}}$${\displaystyle y_{c}(x)}$${\displaystyle (c,0)}$

Неудача с единственностью может быть использована для построения большего количества решений. Их можно найти, взяв две константы и определив решение как , чтобы быть , когда , и чтобы быть , когда . Прямой расчет показывает, что это решение дифференциального уравнения в каждой точке, включая и . Единственность неудача для этих решений на интервале , и решения являются сингулярными, в том смысле, что вторая производная не существует, при и .${\displaystyle c_{1}<c_{2}}$${\displaystyle у(х)}$${\displaystyle (x-c_{1})^{2}}$${\displaystyle x<c_{1}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle c_{1}\leq x\leq c_{2}}$${\displaystyle (x-c_{2})^{2}}$${\displaystyle x>c_{2}}$${\displaystyle x=c_{1}}$${\displaystyle x=c_{2}}$${\displaystyle c_{1}\leq x\leq c_{2}}$${\displaystyle x=c_{1}}$${\displaystyle x=c_{2}}$

Предыдущий пример может создать ошибочное впечатление, что нарушение уникальности напрямую связано с . Нарушение уникальности можно также увидеть в следующем примере уравнения Клеро :${\displaystyle у(х)=0}$

${\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}\,\!}$

Запишем y' = p и тогда

${\displaystyle y(x)=x\cdot p+(p)^{2}.}$

Теперь возьмем дифференциал по x :

${\displaystyle p=y'=p+xp'+2pp'}$

что с помощью простой алгебры дает

${\displaystyle 0=(2p+x)p'.}$

Это условие решено, если 2 p + x =0 или если p ′=0.

Если p' = 0, это означает, что y' = p = c = константа, и общее решение этого нового уравнения имеет вид:

${\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}}$

где c определяется начальным значением.

Если x + 2 p = 0, то получаем, что p = −½ x , и подстановка в ОДУ дает

${\displaystyle y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+(-{\tfrac {1}{2}}x)^{2}=-{\tfrac {1}{4}}x^{2}.}$

Теперь проверим, когда эти решения являются сингулярными. Если два решения пересекаются, то есть оба проходят через одну и ту же точку ( x , y ), то имеет место нарушение единственности для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Таким образом, будет нарушение единственности, если решение первой формы пересечет второе решение.

Условие пересечения: y _s ( x ) = y _c ( x ). Решаем

${\displaystyle c\cdot x+c^{2}=y_{c}(x)=y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{4}}x^{2}}$

чтобы найти точку пересечения, которая является .${\displaystyle (-2c,-c^{2})}$

Мы можем проверить, что кривые касаются в этой точке y' _s ( x ) = y' _c ( x ). Вычислим производные :

${\displaystyle y_{c}'(-2c)=c\,\!}$

${\displaystyle y_{s}'(-2c)=-{\tfrac {1}{2}}x|_{x=-2c}=c.\,\!}$

Следовательно,

${\displaystyle y_{s}(x)=-{\tfrac {1}{4}}\cdot x^{2}\,\!}$

касается каждого члена однопараметрического семейства решений

${\displaystyle y_{c}(x)=c\cdot x+c^{2}\,\!}$

этого уравнения Клеро:

${\displaystyle y(x)=x\cdot y'+(y')^{2}.\,\!}$

• Уравнение Чандрасекара
• Уравнение Кристала
• Каустик (математика)
• Конверт (математика)
• Задача начального значения
• Теорема Пикара–Линделёфа

• Розов, Н.Х. (2001) [1994], "Особое решение", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС