Условие однократного пересечения
Пример двух нормальных кумулятивных функций распределения F(x) и G(x), которые удовлетворяют условию однократного пересечения.
Пример двух кумулятивных функций распределения F(x) и G(x), которые удовлетворяют условию однократного пересечения.

В монотонной сравнительной статике условие однократного пересечения или свойство однократного пересечения относится к условию, при котором связь между двумя или более функциями [примечание 1] такова, что они пересекутся только один раз. [1] Например, распределение, сохраняющее среднее, приведет к измененному распределению вероятностей, кумулятивная функция распределения которого пересечется с исходной только один раз.

Условие одиночного пересечения было сформулировано в монографии Сэмюэля Карлина 1968 года «Полная позитивность». [2] Позднее оно было использовано Питером Даймондом , Джозефом Стиглицем [3] и Сьюзан Эти [4] при изучении экономики неопределенности [5] .

Условие одиночного пересечения также используется в приложениях, где есть несколько агентов или типов агентов, которые имеют предпочтения по отношению к упорядоченному набору . Такие ситуации часто возникают в информационной экономике , теории контрактов , социальном выборе и политической экономике , среди других областей.

Пример использования кумулятивных функций распределения

Кумулятивные функции распределения F и G удовлетворяют условию однократного пересечения, если существует такое , что у ∗ {\displaystyle y^{*}}

∀ х , х ≥ у ∗ ⟹ Ф ( х ) ≥ Г ( х ) {\displaystyle \forall x,x\geq y^{*}\implies F(x)\geq G(x)}

и

∀ х , х ≤ у ∗ ⟹ Ф ( х ) ≤ Г ( х ) {\displaystyle \forall x,x\leq y^{*}\implies F(x)\leq G(x)} ;

то есть функция пересекает ось x не более одного раза, и в этом случае она делает это снизу. час ( х ) = Ф ( х ) − Г ( х ) {\displaystyle h(x)=F(x)-G(x)}

Это свойство можно распространить на две или более переменных. [6] При заданных x и t для всех x'>x, t'>t,

Ф ( х ′ , т ) ≥ Ф ( х , т ) ⟹ Ф ( х ′ , т ′ ) ≥ Ф ( х , т ′ ) {\displaystyle F(x',t)\geq F(x,t)\implies F(x',t')\geq F(x,t')}

и

Ф ( х ′ , т ) > Ф ( х , т ) ⟹ Ф ( х ′ , т ′ ) > Ф ( х , т ′ ) {\displaystyle F(x',t)>F(x,t)\implies F(x',t')>F(x,t')} .

Это условие можно интерпретировать так, что при x'>x функция g(t)=F(x',t)-F(x,t) пересекает горизонтальную ось не более одного раза и снизу. Условие не симметрично по переменным (т. е. мы не можем поменять местами x и t в определении; необходимое неравенство в первом аргументе слабое, тогда как неравенство во втором аргументе строгое).

Использование в социальном выборе и проектировании механизмов

Социальный выбор

В теории общественного выбора условие одиночного пересечения является условием предпочтений . Оно особенно полезно, поскольку функции полезности, как правило, возрастают (т.е. предположение о том, что агент предпочтет или, по крайней мере, сочтет эквивалентными два доллара одному доллару, не вызывает возражений). [7]

В частности, набор агентов с некоторой одномерной характеристикой и предпочтениями по различным политикам q удовлетворяет свойству однократного пересечения, когда выполняется следующее: α я {\displaystyle \альфа ^{я}}

Если и или если и , то д > д ′ {\displaystyle q>q'} α я ′ > α я {\displaystyle \альфа ^{i'}>\альфа ^{i}} д < д ′ {\displaystyle q<q'} α я ′ < α я {\displaystyle \альфа ^{я'}<\альфа ^{я}} Вт ( д ; α я ) ≥ Вт ( д ′ ; α я ) ⟹ Вт ( д ; α я ′ ) ≥ Вт ( д ′ ; α я ′ ) {\displaystyle W(q;\alpha ^{i})\geq W(q';\alpha ^{i})\implies W(q;\alpha ^{i'})\geq W(q';\alpha ^{i'})}

где W — косвенная функция полезности.

Важный результат расширяет теорему о медианном избирателе , которая гласит, что когда у избирателей есть однопиковые предпочтения , существует предпочитаемый большинством кандидат , соответствующий наиболее предпочтительной политике медианного избирателя. [8] При однопересекающихся предпочтениях наиболее предпочтительная политика избирателя со медианным значением является победителем Кондорсе. [9] По сути, это заменяет одномерность политик одномерностью неоднородности избирателей. [ жаргон ] [10] В этом контексте условие однопересекающихся иногда называют условием Ганса-Смарта. [11] α я {\displaystyle \альфа ^{я}}

Конструкция механизма

В проектировании механизмов условие однократного пересечения (часто называемое свойством Спенса-Миррлиса для Майкла Спенса и Джеймса Миррлиса , иногда как предположение о постоянном знаке [12] ) относится к требованию, чтобы кривые изоутилита для агентов разных типов пересекались только один раз. [13] Это условие гарантирует, что передача в совместимом по стимулам прямом механизме может быть зафиксирована передачей самого низкого типа. Это условие похоже на другое условие, называемое строгой возрастающей разностью (SID). [14] Формально предположим, что у агента есть функция полезности , SID говорит, что у нас есть . Свойство Спенса-Миррлиса характеризуется . В ( д , θ ) {\displaystyle V(q,\theta)} ∀ д 2 > д 1 , θ 2 > θ 1 {\displaystyle \forall q_{2}>q_{1},\theta _{2}>\theta _{1}} В ( д 2 , θ 2 ) − В ( д 1 , θ 2 ) > В ( д 2 , θ 1 ) − В ( д 1 , θ 1 ) {\displaystyle V(q_{2},\theta _{2})-V(q_{1},\theta _{2})>V(q_{2},\theta _{1})-V( q_{1},\theta _{1})} ∂ 2 В ∂ θ ∂ д ( д , θ ) > 0 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial \theta \partial q}}(q,\theta )>0}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Свойство должно относиться не только к непрерывным функциям, но и может аналогичным образом описывать упорядоченные множества или решетки .

Ссылки

  1. ^ Athey, S. (2002-02-01). «Монотонная сравнительная статика в условиях неопределенности». The Quarterly Journal of Economics . 117 (1): 187– 223. doi :10.1162/003355302753399481. ISSN  0033-5533. S2CID  14098229.
  2. ^ Карлин, Сэмюэл (1968). Тотальная позитивность . Том 1. Stanford University Press. OCLC  751230710.
  3. ^ Даймонд, Питер А.; Стиглиц, Джозеф Э. (1974). «Рост риска и неприятия риска». Журнал экономической теории . 8 (3). Elsevier: 337– 360. doi : 10.1016/0022-0531(74)90090-8. hdl : 1721.1/63799 .
  4. ^ Athey, Susan (июль 2001 г.). «Свойства одиночного пересечения и существование равновесий чистой стратегии в играх с неполной информацией». Econometrica . 69 (4): 861– 889. doi : 10.1111/1468-0262.00223. hdl : 1721.1/64195 . ISSN  0012-9682.
  5. ^ Голлье, Кристиан (2001). Экономика риска и времени . MIT Press. стр. 103. ISBN 9780262072151.
  6. ^ Рёслер, Уве (сентябрь 1992 г.). «Теорема о неподвижной точке для распределений». Стохастические процессы и их приложения . 42 (2): 195– 214. doi : 10.1016/0304-4149(92)90035-O .
  7. ^ Джуитт, Ян (январь 1987 г.). «Неприятие риска и выбор между рискованными перспективами: сохранение результатов сравнительной статики». Обзор экономических исследований . 54 (1): 73– 85. doi :10.2307/2297447. JSTOR  2297447.
  8. ^ Бредерек, Роберт; Чен, Цзехуа; Вегингер, Герхард Дж. (октябрь 2013 г.). «Характеристика домена одиночного пересечения». Социальный выбор и благосостояние . 41 (4): 989–998 . doi : 10.1007/s00355-012-0717-8. ISSN  0176-1714. S2CID  253845257.
  9. ^ Перссон, Торстен; Табеллини, Гвидо (2000). Политическая экономика: объяснение экономической политики . MIT Press. стр. 23. ISBN 9780262303668.
  10. ^ Ганс, Джошуа С.; Смарт, Майкл (февраль 1996 г.). «Голосование большинства с предпочтениями с одним пересечением». Журнал общественной экономики . 59 (2): 219– 237. doi : 10.1016/0047-2727(95)01503-5 .
  11. ^ Хаавио, Маркус; Котакорпи, Кайса (май 2011 г.). «Политическая экономия налогов на грехи». European Economic Review . 55 (4): 575– 594. doi : 10.1016/j.euroecorev.2010.06.002. hdl : 10138/16733 . S2CID  2604940.
  12. ^ Лаффонт, Жан-Жак; Мартимор, Дэвид (2002). Теория стимулов: модель принципала-агента. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 53. ISBN 0-691-09183-8. OCLC  47990008.
  13. ^ Лаффонт, Жан-Жак; Мартимор, Дэвид (2002). Теория стимулов: модель принципала-агента. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press. стр. 35. ISBN 0-691-09183-8. OCLC  47990008.
  14. ^ Франкель, Александр (01.01.2014). «Согласованная делегация». American Economic Review . 104 (1): 66– 83. doi :10.1257/aer.104.1.66. ISSN  0002-8282.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Условие_одиночного_пересечения&oldid=1258205954"