Лемма Зигеля

В математике , в частности в теории трансцендентных чисел и диофантовых приближениях , лемма Зигеля относится к границам решений линейных уравнений, полученных путем построения вспомогательных функций . Существование этих многочленов было доказано Акселем Туэ ; ^[1] Доказательство Туэ использовало принцип ящика Дирихле . Карл Людвиг Зигель опубликовал свою лемму в 1929 году. ^[2] Это чистая теорема существования для системы линейных уравнений .

В последние годы лемма Зигеля была усовершенствована с целью получения более точных границ оценок, даваемых леммой. ^[3]

Предположим, что нам дана система из M линейных уравнений с N неизвестными, такая, что N > M , скажем

${\displaystyle a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0}$

${\displaystyle \cdots}$

${\displaystyle a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0}$

где коэффициенты являются целыми числами, не все равны 0, и ограничены B. Тогда система имеет решение

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\точки ,X_{N})}$

где X — все целые числа, не все 0, и ограничены

${\displaystyle (НБ)^{М/(НМ)}.}$^[4]

Бомбьери и Ваалер (1983) дали следующую более точную границу для X :

${\displaystyle \max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det(AA^{T})}}\right)^{\!1/(НМ)}}$

где D — наибольший общий делитель миноров M  ×  M матрицы A , а A ^T — ее транспонированная матрица . Их доказательство включало замену принципа «ящика» методами из геометрии чисел .

• Диофантово приближение

• Бомбьери, Э.; Ваалер, Дж. (1983). «О лемме Сигела». Математические изобретения . 73 (1): 11–32. Бибкод : 1983InMat..73...11B. дои : 10.1007/BF01393823. S2CID  121274024.
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Диофантова геометрия . Graduate Texts in Mathematics. Vol. 201. Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-98981-5. МР  1745599.
• Вольфганг М. Шмидт . Диофантовы приближения . Конспект лекций по математике 785. Springer. (1980 [1996 с небольшими исправлениями]) (страницы 125–128 и 283–285)
• Вольфганг М. Шмидт. "Глава I: Лемма Зигеля и высоты" (страницы 1–33). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения , Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.