Теорема сдвига

В математике теорема об (экспоненциальном) сдвиге — это теорема о полиномиальных дифференциальных операторах ( D -операторах) и показательных функциях . Она позволяет в некоторых случаях исключить показатель из-под D -операторов.

Теорема утверждает, что если P ( D ) является полиномом D -оператора, то для любой достаточно дифференцируемой функции y ,

${\displaystyle P(D)(e^{ax}y)\equiv e^{ax}P(D+a)y.}$

Чтобы доказать результат, действуйте по индукции . Обратите внимание, что только частный случай

${\displaystyle P(D)=D^{n}}$

необходимо доказать, поскольку общий результат следует из линейности D - операторов .

Результат, очевидно, верен для n = 1, поскольку

${\displaystyle D(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)y.}$

Теперь предположим, что результат верен для n  =  k , то есть,

${\displaystyle D^{k}(e^{ax}y)=e^{ax}(D+a)^{k}y.}$

Затем,

${\displaystyle {\begin{aligned}D^{k+1}(e^{ax}y)&\equiv {\frac {d}{dx}}\left\{e^{ax}\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}{\frac {d}{dx}}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}+ae^{ax}\left\{\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}\left\{\left({\frac {d}{dx}}+a\right)\left(D+a\right)^{k}y\right\}\\&{}=e^{ax}(D+a)^{k+1}y.\end{aligned}}}$

Это завершает доказательство.

Теорему сдвига можно с равным успехом применить и к обратным операторам:

${\displaystyle {\frac {1}{P(D)}}(e^{ax}y)=e^{ax}{\frac {1}{P(D+a)}}y.}$

Существует аналогичная версия теоремы о сдвиге для преобразований Лапласа ( ):${\displaystyle т<а}$

${\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{f(ta)\}.}$

Теорема об экспоненциальном сдвиге может быть использована для ускорения вычисления высших производных функций, которые задаются произведением экспоненты и другой функции. Например, если , то имеем, что${\displaystyle f(x)=\sin(x)e^{x}}$

$${\displaystyle {\begin{align}D^3}f&=D^3}(e^{x}\sin(x))=e^{x}(D+1)^3}\sin(x)\\&=e^{x}\left(D^3}+3D^2}+3D+1\right)\sin(x)\\&=e^{x}\left(-\cos(x)-3\sin(x)+3\cos(x)+\sin(x)\right)\end{align}}}$$

Другим применением теоремы об экспоненциальном сдвиге является решение линейных дифференциальных уравнений , характеристический полином которых имеет повторяющиеся корни. ^[1]

• Моррис, Тененбаум; Поллард, Гарри (1985). Обыкновенные дифференциальные уравнения: элементарный учебник для студентов математики, инженерии и естественных наук . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0486649407. OCLC  12188701.