неравенство Шапиро

В математике неравенство Шапиро — неравенство, предложенное Гарольдом С. Шапиро в 1954 году. [1]

Формулировка неравенства

Предположим, что — натуральное число , — положительные числа и: н {\displaystyle n} х 1 , х 2 , … , х н {\displaystyle x_{1},x_{2},\точки ,x_{n}}

  • н {\displaystyle n} четно и меньше или равно , или 12 {\displaystyle 12}
  • н {\displaystyle n} нечетно и меньше или равно . 23 {\displaystyle 23}

Тогда неравенство Шапиро утверждает, что

∑ я = 1 н х я х я + 1 + х я + 2 ≥ н 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}}}

где и . х н + 1 = х 1 {\displaystyle x_{n+1}=x_{1}} х н + 2 = х 2 {\displaystyle x_{n+2}=x_{2}}

При больших значениях неравенство не выполняется, и строгая нижняя граница имеет вид (последовательность A245330 в OEIS ). н {\displaystyle n} γ н 2 {\displaystyle \gamma {\frac {n}{2}}} γ ≈ 0.9891 … {\displaystyle \gamma \approx 0.9891\dots }

Первоначальные доказательства неравенства в основных случаях [2] и [3] опираются на численные вычисления. В 2002 году PJ Bushell и JB McLeod опубликовали аналитическое доказательство для  . [4] n = 12 {\displaystyle n=12} n = 23 {\displaystyle n=23} n = 12 {\displaystyle n=12}

Значение было определено в 1971 году Владимиром Дринфельдом . В частности, он доказал, что строгая нижняя граница задается выражением , где функция является выпуклой оболочкой и . (То есть область над графиком является выпуклой оболочкой объединения областей над графиками и . ) [5] [6] γ {\displaystyle \gamma } γ {\displaystyle \gamma } ψ ( 0 ) {\displaystyle \psi (0)} ψ {\displaystyle \psi } f ( x ) = e − x {\displaystyle f(x)=e^{-x}} g ( x ) = 2 e x + e x 2 {\displaystyle g(x)={\frac {2}{e^{x}+e^{\frac {x}{2}}}}} ψ {\displaystyle \psi } f {\displaystyle f} g {\displaystyle g}

Внутренние локальные минимумы левой части всегда равны . [7] ≥ n 2 {\displaystyle \geq {\frac {n}{2}}}

Контрпримеры для высшегон

Первый контрпример был найден Лайтхиллом в 1956 году : [8] n = 20 {\displaystyle n=20}

x 20 = ( 1 + 5 ϵ ,   6 ϵ ,   1 + 4 ϵ ,   5 ϵ ,   1 + 3 ϵ ,   4 ϵ ,   1 + 2 ϵ ,   3 ϵ ,   1 + ϵ ,   2 ϵ ,   1 + 2 ϵ ,   ϵ ,   1 + 3 ϵ ,   2 ϵ ,   1 + 4 ϵ ,   3 ϵ ,   1 + 5 ϵ ,   4 ϵ ,   1 + 6 ϵ ,   5 ϵ ) , {\displaystyle x_{20}=(1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon ),}

где близко к 0. Тогда левая часть равна , то есть меньше 10, когда достаточно мало. ϵ {\displaystyle \epsilon } 10 − ϵ 2 + O ( ϵ 3 ) {\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})} ϵ {\displaystyle \epsilon }

Следующий контрпример приводит Трош (1985): n = 14 {\displaystyle n=14}

x 14 = ( 0 , 42 , 2 , 42 , 4 , 41 , 5 , 39 , 4 , 38 , 2 , 38 , 0 , 40 ) {\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)} (Треш, 1985)

Ссылки

  1. ^ Шапиро, HS; Беллман, R.; Ньюман, DJ; Вайсблум, WE; Смит, HR; Коксетер, HSM (1954). «Проблемы для решения: 4603-4607». The American Mathematical Monthly . 61 (8): 571. doi :10.2307/2307617. JSTOR  2307617. Получено 23 сентября 2021 г.
  2. ^ Годунова, ЕК; Левин, ВИ (1976-06-01). «Циклическая сумма с 12 членами». Математические записки Академии наук СССР . 19 (6): 510–517. doi :10.1007/BF01149930. ISSN  1573-8876.
  3. ^ Troesch, BA (1989). «Справедливость циклического неравенства Шапиро». Mathematics of Computation . 53 (188): 657–664. doi :10.2307/2008728. ISSN  0025-5718. JSTOR  2008728.
  4. ^ Бушелл, П. Дж.; Маклеод, Дж. Б. (2002). «Циклическое неравенство Шапиро для четных n». Журнал неравенств и приложений . 7 (3): 331–348. doi : 10.1155/S1025583402000164 . ISSN  1029-242X.
  5. ^ Дринфельд, ВГ (1971-02-01). «Циклическое неравенство». Математические записки Академии наук СССР . 9 (2): 68–71. doi :10.1007/BF01316982. ISSN  1573-8876. S2CID  121786805.
  6. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Циклическая сумма константы Шапиро». MathWorld .
  7. ^ Новосад, Педро (сентябрь 1968 г.). «Изопериметрические проблемы собственных значений в алгебрах». Сообщения по чистой и прикладной математике . 21 (5): 401–465. doi :10.1002/cpa.3160210502. ISSN  0010-3640.
  8. ^ Лайтхилл, М. Дж. (1956). «Неверное неравенство». American Mathematical Monthly . 63 (3): 191–192. doi :10.1080/00029890.1956.11988785.
  • Fink, AM (1998). "Неравенство Шапиро". В Градимир В. Милованович, ГВ (ред.). Недавний прогресс в неравенствах. Посвящается профессору Драгославу С. Митриновичу . Математика и ее приложения (Дордрехт). Т. 430. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. С. 241–248. ISBN 0-7923-4845-1. Збл  0895.26001.
  • Обсуждение Usenet в 1999 году (заметки Дэйва Русина)
  • ПланетаМатематика
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Shapiro_inequality&oldid=1251362660"