Семь состояний случайности

Семь состояний случайности в теории вероятностей , фракталах и анализе риска являются расширениями концепции случайности , смоделированной нормальным распределением . Эти семь состояний были впервые введены Бенуа Мандельбротом в его книге 1997 года «Фракталы и масштабирование в финансах» , в которой фрактальный анализ был применен к изучению риска и случайности. ^[1] Эта классификация основана на трех основных состояниях случайности: умеренном, медленном и диком.

Важность классификации семи состояний случайности для финансовой математики заключается в том, что такие методы, как портфель средней дисперсии Марковица и модель Блэка-Шоулза, могут оказаться недействительными, поскольку хвосты распределения доходности становятся более раздутыми : первый основан на конечном стандартном отклонении ( волатильности ) и стабильности корреляции , тогда как последний построен на броуновском движении .

Эти семь положений основаны на более ранней работе Мандельброта 1963 года: «Изменения некоторых спекулятивных цен» ^[2] и «Новые методы в статистической экономике» ^[3] , в которых он утверждал, что большинство статистических моделей приближаются только к первой стадии работы с недетерминизмом в науке и что они игнорируют многие аспекты турбулентности реального мира , в частности, большинство случаев финансового моделирования . ^{[4] [5]} Затем это было представлено Мандельбротом на Международном конгрессе по логике (1964) в докладе под названием «Эпистемология случая в некоторых новых науках» ^[6].

Интуитивно говоря, Мандельброт утверждал ^[6] , что традиционное нормальное распределение не отражает должным образом эмпирические и «реальные» распределения, и существуют другие формы случайности, которые можно использовать для моделирования экстремальных изменений риска и случайности. Он заметил, что случайность может стать довольно «дикой», если отказаться от требований относительно конечного среднего и дисперсии . Дикая случайность соответствует ситуациям, в которых одно наблюдение или конкретный результат могут повлиять на общую сумму очень несоразмерным образом.

Классификация была официально введена в его книге 1997 года «Фракталы и масштабирование в финансах » ^[1] как способ пролить свет на три основных состояния случайности: умеренное, медленное и дикое. При наличии N слагаемых порционирование касается относительного вклада слагаемых в их сумму. Под равномерным порционированием Мандельброт подразумевал, что слагаемые имеют одинаковый порядок величины , в противном случае он считал порционирование концентрированным . При наличии момента порядка q случайной величины Мандельброт назвал корень степени q такого момента масштабным коэффициентом (порядка q ).

Семь штатов:

1. Правильная мягкая случайность: краткосрочное распределение равномерно для N  = 2, например, нормальное распределение
2. Пограничная мягкая случайность: краткосрочное распределение концентрируется при N  = 2, но в конечном итоге становится равномерным по мере роста N , например, экспоненциальное распределение со скоростью λ  = 1 (и, следовательно, с ожидаемым значением 1/ λ  = 1)
3. Медленная случайность с конечными делокализованными моментами: масштабный фактор увеличивается быстрее, чем q , но не быстрее, чем , w  < 1${\displaystyle {\sqrt[{w}]{q}}}$
4. Медленная случайность с конечными и локализованными моментами: масштабный коэффициент увеличивается быстрее любой степени q , но остается конечным, например, логнормальное распределение и, что важно, ограниченное равномерное распределение (которое по построению с конечным масштабом для всех q не может быть пред-дикой случайностью).
5. Предварительно дикая случайность: масштабный коэффициент становится бесконечным при q  > 2, например, распределение Парето с α  = 2,5
6. Дикая случайность: бесконечный второй момент, но конечный момент некоторого положительного порядка, например распределение Парето с${\displaystyle \альфа \leq 2}$
7. Крайняя случайность: все моменты бесконечны, например, логарифмическое распределение Коши

Дикая случайность имеет применение за пределами финансовых рынков, например, она использовалась при анализе бурных ситуаций, таких как лесные пожары . ^[7]

Используя элементы этого различия, в марте 2006 года, за год до финансового кризиса 2007–2010 годов и за четыре года до краха в мае 2010 года, во время которого индекс Dow Jones Industrial Average совершил внутридневное колебание на 1000 пунктов в течение нескольких минут, ^[8] Мандельброт и Нассим Талеб опубликовали статью в Financial Times, в которой утверждали, что традиционные «колоколообразные кривые», которые использовались более века, неадекватны для измерения риска на финансовых рынках, учитывая, что такие кривые не учитывают возможность резких скачков или разрывов. Противопоставляя этот подход традиционным подходам, основанным на случайных блужданиях , они заявили: ^[9]

Мы живем в мире, где движут в основном случайные скачки, а инструменты, разработанные для случайных блужданий, решают не ту проблему.

Мандельброт и Талеб отметили, что хотя можно предположить, что шансы найти человека ростом в несколько миль чрезвычайно низки, подобные чрезмерные наблюдения нельзя исключить и в других областях применения. Они утверждали, что, хотя традиционные кривые нормального распределения могут обеспечить удовлетворительное представление роста и веса в популяции, они не обеспечивают подходящего механизма моделирования для рыночных рисков или доходности, где всего десять торговых дней представляют 63 процента доходности между 1956 и 2006 годами. ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Если плотность вероятности обозначить , то ее можно получить двойной сверткой .${\displaystyle U=U'+U''}$${\displaystyle p_{2}(u)}$${\displaystyle p_{2}(x)=\int p(u)p(xu)\,du}$

Когда u известно, условная плотность вероятности u ′ определяется соотношением порций:

${\displaystyle {\frac {p(u')p(uu')}{p_{2}(u)}}}$

Во многих важных случаях максимум достигается вблизи или вблизи и . Возьмем логарифм и запишем:${\displaystyle p(u')p(uu')}$${\displaystyle u'=u/2}$${\displaystyle u'=0}$${\displaystyle u'=u}$${\displaystyle p(u')p(uu')}$

${\displaystyle \Delta (u)=2\log p(u/2) - [\log p(0)+\log p(u)]}$

• Если крышка выпуклая , то коэффициент порционирования максимален для${\displaystyle \log p(u)}$${\displaystyle u'=u/2}$
• Если прямо, то соотношение порций постоянно${\displaystyle \log p(u)}$
• Если чашеобразная , то коэффициент порционирования минимален для${\displaystyle \log p(u)}$${\displaystyle u'=u/2}$

Разделение удвоенной свертки на три части дает:

${\displaystyle p_{2}(x)=\int _{0}^{x}p(u)p(xu)\,du=\left\{\int _{0}^{\tilde {x}}+\int _{\tilde {x}}^{x-{\tilde {x}}}+\int _{x-{\tilde {x}}}^{x}\right\}p(u)p(xu)\,du=I_{L}+I_{0}+I_{R}}$

p ( u ) является краткосрочно сконцентрированным по вероятности, если можно сделать выбор так, чтобы средний интервал ( ) имел следующие два свойства при u→∞:${\displaystyle {\tilde {u}}(u)}$${\displaystyle {\tilde {u}},u-{\tilde {u}}}$

• Я ₀ / п ₂ ( у ) → 0
• ${\displaystyle (u-2{\tilde {u}})u}$не → 0

Рассмотрим формулу : если p ( u ) — масштабное распределение, то подынтегральное выражение максимально при 0 и ∞, в других случаях подынтегральное выражение может иметь острый глобальный максимум для некоторого значения, определяемого следующим уравнением:${\displaystyle \operatorname {E} [U^{q}]=\int _{0}^{\infty }u^{q}p(u)\,du}$${\displaystyle {\tilde {u}}_{q}}$

${\displaystyle 0={\frac {d}{du}}(q\log u+\log p(u))={\frac {q}{u}}-\left|{\frac {d\log p(u)}{du}}\right|}$

Необходимо также знать в окрестности . Функция часто допускает «гауссовское» приближение, заданное формулой:${\displaystyle u^{q}p(u)}$${\displaystyle {\tilde {u}}_{q}}$${\displaystyle u^{q}p(u)}$

${\displaystyle \log[u^{q}p(u)]=\log p(u)+qu={\text{константа}}-(u-{\tilde {u}}_{q})^{2}{\tilde {\sigma }}_{q}^{-2/2}}$

Когда хорошо аппроксимируется гауссовой плотностью, основная часть возникает в « q -интервале», определяемом как . Гауссовские q -интервалы сильно перекрываются для всех значений . Гауссовские моменты называются делокализованными . q -интервалы логнормали равномерно распределены, и их ширина не зависит от q ; поэтому, если логнормаль достаточно скошена, q -интервал и ( q  + 1) -интервал не перекрываются. Логнормальные моменты называются равномерно локализованными . В других случаях соседние q -интервалы перестают перекрываться для достаточно больших q , такие моменты называются асимптотически локализованными .${\displaystyle u^{q}p(u)}$${\displaystyle \operatorname {E} [U^{q}]}$${\displaystyle [{\tilde {u}}_{q}-{\tilde {\sigma }}_{q},{\tilde {u}}_{q}+{\tilde {\sigma }}_{q}]}$${\displaystyle \сигма}$

• История случайности
• Случайная последовательность
• Распределение с толстым хвостом
• Распределение с тяжелым хвостом
• Вейвлет Добеши для системы, основанной на бесконечных моментах (хаотические волны)