Теория множеств действительной прямой

Теория множеств действительной прямой — это раздел математики, занимающийся применением теории множеств к различным аспектам действительных чисел .

Например, известно, что все счетные множества действительных чисел являются нулевыми , т.е. имеют меру Лебега 0; поэтому можно было бы спросить о наименьшем возможном размере множества, которое не является нулевым по Лебегу. Этот инвариант называется однородностью идеала нулевых множеств, обозначаемого . Существует много таких инвариантов, связанных с этим и другими идеалами, например, идеалом тощих множеств, а также еще несколькими, которые не имеют характеристики в терминах идеалов. Если выполняется гипотеза континуума (CH), то все такие инварианты равны , наименьшему несчетному кардиналу . Например, мы знаем, что является несчетным , но будучи размером некоторого множества действительных чисел относительно CH, он может быть не более .${\displaystyle non({\mathcal {N}})}$${\displaystyle \алеф _{1}}$${\displaystyle non({\mathcal {N}})}$${\displaystyle \алеф _{1}}$

С другой стороны, если предположить аксиому Мартина (MA), то все общие инварианты являются «большими», то есть равными , мощности континуума . Аксиома Мартина согласуется с . Фактически, следует рассматривать аксиому Мартина как аксиому принуждения , которая отрицает необходимость делать определенные принуждения определенного класса (те, которые удовлетворяют ccc , поскольку согласованность MA с большим континуумом доказывается путем выполнения всех таких принуждений (до определенного размера, который, как показано, достаточен). Каждый инвариант можно сделать большим с помощью некоторого принуждения ccc, таким образом, каждый является большим при заданном MA.${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle {\mathfrak {c}}>\aleph _{1}}$

Если ограничиться конкретными воздействиями, некоторые инварианты станут большими, а другие останутся маленькими. Анализ этих эффектов является основной работой в этой области, стремясь определить, какие неравенства между инвариантами доказуемы, а какие несовместимы с ZFC. Неравенства между идеалами меры ( нулевые множества) и категории (тощие множества) отражены в диаграмме Сихона . Семнадцать моделей (конструкций воздействия) были созданы в 1980-х годах, начиная с работы Арнольда Миллера, чтобы продемонстрировать, что никакие другие неравенства не доказуемы. Они подробно проанализированы в книге Томека Бартошинского и Хаима Джуды, двух выдающихся работников в этой области.

Один любопытный результат заключается в том, что если вы можете покрыть действительную линию разреженными множествами (где ), то ; и наоборот, если вы можете покрыть действительную линию нулевыми множествами, то наименьшее неразреженное множество имеет размер по крайней мере ; оба этих результата следуют из существования разложения как объединения разреженного множества и нулевого множества.${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \алеф _{1}\leq \каппа \leq {\mathfrak {c}}}$${\displaystyle non({\mathcal {N}})\geq \kappa }$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Одной из последних больших нерешенных проблем в этом районе была согласованность

${\displaystyle {\mathfrak {d}}<{\mathfrak {a}},}$

доказал в 1998 году Сахарон Шелах .

• Диаграмма Чихоня
• Кардинальный инвариант

• Бартошинский, Томек и Иуда, Хаим Теория множеств: О структуре действительной прямой А.. K. Peters Ltd. (1995). ISBN  1-56881-044-X
• Миллер, Арнольд Некоторые свойства меры и категории Труды Американского математического общества, 266(1):93-114, (1981)