Гипотеза Серра II
В математике Жан-Пьер Серр выдвинул гипотезу [1] [2] о следующем утверждении относительно когомологий Галуа односвязной полупростой алгебраической группы . А именно, он предположил, что если G — такая группа над совершенным полем F когомологической размерности не более 2 , то множество когомологий Галуа H 1 ( F , G ) равно нулю.
Справедливо обратное утверждение: если поле F совершенно и если множество когомологий H 1 ( F , G ) равно нулю для каждой полупростой односвязной алгебраической группы G , то p -когомологическая размерность F не превышает 2 для каждого простого числа p . [3]
Гипотеза верна в случае, когда F является локальным полем (таким как p-адическое поле ) или глобальным полем без вещественных вложений (таким как Q ( √ −1 )). Это частный случай принципа Кнезера–Хардера–Черноусова Хассе для алгебраических групп над глобальными полями. (Заметим, что такие поля действительно имеют когомологическую размерность не более 2. [2] ) Гипотеза также верна, когда F конечно порождено над комплексными числами и имеет степень трансцендентности не более 2. [4]
Известно, что гипотеза верна также для некоторых групп G. Для специальных линейных групп она является следствием теоремы Меркурьева–Суслина . [5] Опираясь на этот результат, гипотеза верна, если G является классической группой . [6] Гипотеза также верна, если G является одним из определенных видов исключительных групп . [7]
Ссылки
- ^ Серр, JP. (1962). «Галоидные когомологии групп линейной алгебры». Коллок-сюр-ла-теория алгебраических групп : 53–68.
- ^ Аб Серр, JP. (1964). Галуазские когомологии . Конспект лекций по математике. Том. 5. Спрингер.
- ^ Серр, Жан-Пьер (1995). «Галумские когомологии: прогресс и проблемы». Астериск . 227 : 229–247. MR 1321649. Збл 0837.12003 – через НУМДАМ.
- ^ de Jong, AJ; He, Xuhua; Starr, Jason Michael (2008). «Семейства рационально односвязных многообразий над поверхностями и торсорами для полупростых групп». arXiv : 0809.5224 [math.AG].
- ^ Меркурьев, А.С.; Суслин, А.А. (1983). "K-когомологии многообразий Севери-Брауэра и гомоморфизм нормированного вычета". Матем. Известия СССР . 21 (2): 307–340. Bibcode :1983IzMat..21..307M. doi :10.1070/im1983v021n02abeh001793.
- ^ Байер-Флюкигер, Э.; Паримала, Р. (1995). «Когомологии Галуа классических групп над полями когомологической размерности ≤ 2». Математические изобретения . 122 : 195–229. Бибкод : 1995InMat.122..195B. дои : 10.1007/BF01231443. S2CID 124673233.
- ^ Гилле, П. (2001). «Галоидные когомологии алгебраических групп, квазиразвернутых на корпусе когомологических измерений ≤ 2». Математическая композиция . 125 (3): 283–325. дои : 10.1023/А:1002473132282 . S2CID 124765999.
Внешние ссылки
- Обзор гипотезы Филиппа Жиля
