Гипотеза Сендова

Гипотеза о корнях многочленов

В математике гипотеза Сендова , иногда также называемая гипотезой Илиева , касается взаимосвязи между расположением корней и критических точек полиномиальной функции комплексной переменной . Она названа в честь Благовеста Сендова .

Гипотеза утверждает, что для полинома

f(z)=(zr_{1})\cdots (zr_{n}),\qquad (n\geq 2)

при этом все корни r ₁ , ..., r _n находятся внутри замкнутого единичного круга | z | ≤ 1, каждый из n корней находится на расстоянии не более 1 от по крайней мере одной критической точки.

Теорема Гаусса –Лукаса гласит, что все критические точки лежат внутри выпуклой оболочки корней. Из этого следует, что критические точки должны находиться внутри единичного круга, поскольку корни там находятся.

Гипотеза была доказана для n < 9 Брауном-Сяном и для достаточно больших n Тао . ^[1]^[2]

История

Гипотеза была впервые предложена Благовестом Сендовым в 1959 году; он описал ее своему коллеге Николе Обрешкову . В 1967 году гипотеза была ошибочно приписана ^[3] Любомиру Илиеву Уолтером Хейманом . ^[4] В 1969 году Меир и Шарма доказали гипотезу для многочленов с n < 6. В 1991 году Браун доказал гипотезу для n < 7. Борча расширил доказательство до n < 8 в 1996 году. Браун и Сян ^[5] доказали гипотезу для n < 9 в 1999 году. Теренс Тао доказал гипотезу для достаточно больших n в 2020 году.

Ссылки

^ Теренс Тао (2020). «Гипотеза Сендова для полиномов достаточно высокой степени». arXiv : 2012.04125 [math.CV].
^ Теренс Тао (9 декабря 2020 г.). «Гипотеза Сендова для полиномов достаточно высокой степени». Что нового .
^ Марден, Моррис. Предположения о критических точках многочлена. The American Mathematical Monthly 90 (1983), № 4, 267-276.
↑ Задача 4.5, В. К. Хейман, Исследовательские проблемы в теории функций. Althlone Press, Лондон, 1967.
^ Браун, Джонни Э.; Сян, Гуанпин Доказательство гипотезы Сендова для многочленов степени не выше восьмой. Журнал математического анализа и приложений 232 (1999), № 2, 272–292.

Г. Шмайссер, «Гипотезы Сендова и Смейла », Теория приближений: Том, посвященный Благовесту Сендову (ред. Б. Боджоанов), София: ДАРБА, 2002 г., стр. 353–369.

Внешние ссылки

Гипотеза Сендова Брюса Торренса при участии Пола Эбботта из проекта Wolfram Demonstrations Project

[Tao2020arxiv-1] Теренс Тао (2020). «Гипотеза Сендова для полиномов достаточно высокой степени». arXiv : 2012.04125 [math.CV].

[2] Теренс Тао (9 декабря 2020 г.). «Гипотеза Сендова для полиномов достаточно высокой степени». Что нового .

[3] Марден, Моррис. Предположения о критических точках многочлена. The American Mathematical Monthly 90 (1983), № 4, 267-276.

[4] Задача 4.5, В. К. Хейман, Исследовательские проблемы в теории функций. Althlone Press, Лондон, 1967.

[5] Браун, Джонни Э.; Сян, Гуанпин Доказательство гипотезы Сендова для многочленов степени не выше восьмой. Журнал математического анализа и приложений 232 (1999), № 2, 272–292.