Полулогарифмический график

В науке и технике полулогарифмический график или полулогарифмический график имеет одну ось в логарифмическом масштабе , другую в линейном масштабе . Это полезно для данных с экспоненциальными отношениями , где одна переменная охватывает большой диапазон значений. [ ^1]

Все уравнения этой формы образуют прямые линии, если их построить в полулогарифмическом масштабе, поскольку взятие логарифмов обеих сторон дает${\displaystyle y=\лямбда а^{\гамма х}}$

${\displaystyle \log _{a}y=\гамма x+\log _{a}\лямбда .}$

Это линия с наклоном и вертикальным пересечением. Логарифмическая шкала обычно обозначается в десятичной системе счисления; иногда в двухлинейной системе счисления:${\displaystyle \гамма}$${\displaystyle \log _{a}\лямбда }$

${\displaystyle \log(y)=(\гамма \log(a))x+\log(\лямбда).}$

Логарифмически -линейный (иногда логарифмически-линевый) график имеет логарифмическую шкалу по оси y и линейную шкалу по оси x ; линейно-логарифмический (иногда линально-логарифмический) график имеет противоположное значение. Наименование — выход-вход ( y – x ), обратный порядок ( x , y ).

На полулогарифмическом графике интервал шкалы на оси y (или оси x ) пропорционален логарифму числа, а не самому числу. Это эквивалентно преобразованию значений y (или значений x ) в их логарифм и построению данных на линейной шкале. Логарифмический график использует логарифмическую шкалу для обеих осей и, следовательно, не является полулогарифмическим графиком.

Уравнение линии на линейно-логарифмическом графике, где ось абсцисс масштабируется логарифмически (с основанием логарифма n ), будет иметь вид

${\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+b.\,}$

Уравнение линии на логарифмически-линейном графике с осью ординат , масштабированной в логарифмическом масштабе (с основанием логарифма n ), будет иметь вид:

${\displaystyle \log _{n}(F(x))=mx+b}$

${\displaystyle F(x)=n^{mx+b}=(n^{mx})(n^{b}).}$

На линейно-логарифмическом графике выберите некоторую фиксированную точку ( x ₀ , F ₀ ), где F ₀ — это сокращение для F ( x ₀ ), где-нибудь на прямой линии на приведенном выше графике, а затем некоторую другую произвольную точку ( x ₁ , F ₁ ) на том же графике. Формула наклона графика:

${\displaystyle m={\frac {F_{1}-F_{0}}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}}$

что приводит к

${\displaystyle F_{1}-F_{0}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})}$

или

${\displaystyle F_{1}=m\log _{n}(x_{1}/x_{0})+F_{0}=m\log _{n}(x_{1})-m\log _{n}(x_{0})+F_{0}}$

что означает, что$${\displaystyle F(x)=m\log _{n}(x)+\mathrm {константа} }$$

Другими словами, F пропорциональна логарифму x , умноженному на наклон прямой линии ее графика lin–log, плюс константа. В частности, прямая линия на графике lin–log, содержащая точки ( F ₀ ,  x ₀ ) и ( F ₁ ,  x ₁ ), будет иметь функцию:

${\displaystyle F(x)=(F_{1}-F_{0}){\left[{\frac {\log _{n}(x/x_{0})}{\log _{n}(x_{1}/x_{0})}}\right]}+F_{0}=(F_{1}-F_{0})\log _{\frac {x_{1}}{x_{0}}}{\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)}+F_{0}}$

На логарифмически-линейном графике (логарифмическая шкала по оси y) выберите некоторую фиксированную точку ( x ₀ , F ₀ ), где F ₀ — это сокращение от F ( x ₀ ), где-нибудь на прямой линии на приведенном выше графике, а затем некоторую другую произвольную точку ( x ₁ , F ₁ ) на том же графике. Формула наклона графика:

${\displaystyle m={\frac {\log _{n}(F_{1}/F_{0})}{x_{1}-x_{0}}}}$

что приводит к

${\displaystyle \log _{n}(F_{1}/F_{0})=m(x_{1}-x_{0})}$

Обратите внимание, что n ^{log _n ( F ₁ )} = F ₁ . Поэтому журналы можно инвертировать, чтобы найти:

${\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=n^{m(x_{1}-x_{0})}}$

или

${\displaystyle F_{1}=F_{0}n^{m(x_{1}-x_{0})}}$

Это можно обобщить для любой точки, а не только для F ₁ :

${\displaystyle F(x)={F_{0}}n^{\left({\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\right)\log _{n}(F_{1}/F_{0})}}$

В физике и химии график логарифма давления в зависимости от температуры можно использовать для иллюстрации различных фаз вещества, как в следующем примере для воды :

Хотя наиболее распространенной основой является «десять» , бывают случаи, когда более уместны другие основы, как в этом примере: ^{[ необходимы дополнительные пояснения ]}

Обратите внимание, что горизонтальная (временная) ось линейна, с равномерно распределенными датами, вертикальная (случаи) ось логарифмическая, с равномерно распределенными делениями, помеченными последовательными степенями двойки. Полулогарифмический график позволяет легче увидеть, когда инфекция перестала распространяться с максимальной скоростью, т. е. прямая линия на этом экспоненциальном графике, и начинает изгибаться, указывая на более медленную скорость. Это может указывать на то, что работает какая-то форма смягчающих действий, например, социальное дистанцирование.

В биологии и биологической инженерии изменение численности микробов вследствие бесполого размножения и истощения питательных веществ обычно иллюстрируется полулогарифмическим графиком. Время обычно является независимой осью, а логарифм числа или массы бактерий или других микробов — зависимой переменной. Это формирует график с четырьмя отдельными фазами, как показано ниже.

• Номограмма , более сложные графики
• Нелинейная регрессия#Преобразование , для преобразования нелинейной формы в полулогарифмическую форму, пригодную для неитеративного вычисления.
• Логарифмический график