Полукубическая парабола

В математике кубическая или полукубическая парабола — это алгебраическая плоская кривая , которая имеет неявное уравнение вида

${\displaystyle y^{2}-a^{2}x^{3}=0}$

(при a ≠ 0 ) в некоторой декартовой системе координат .

Решение относительно y приводит к явной форме

${\displaystyle y=\pm ax^{\frac {3}{2}},}$

которые подразумевают, что каждая вещественная точка удовлетворяет условию x ≥ 0. Показатель степени объясняет термин полукубическая парабола . ( Парабола может быть описана уравнением y = ax ² .)

Решение неявного уравнения относительно x дает вторую явную форму

${\displaystyle x=\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}.}$

Параметрическое уравнение

${\displaystyle \quad x=t^{2},\quad y=at^{3}}$

можно также вывести из неявного уравнения, положив ^[1]${\textstyle t={\frac {y}{ax}}.}$

Полукубические параболы имеют каспидальную особенность ; отсюда и название — каспидальные кубические .

Длина дуги кривой была рассчитана английским математиком Уильямом Нилом и опубликована в 1657 году (см. раздел История). ^[2]

Любая полукубическая парабола подобна единичной полукубической параболе .${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$ ${\displaystyle (u^{2},u^{3})}$

Доказательство: Подобие (равномерное масштабирование) отображает полукубическую параболу на кривую с .${\displaystyle (x,y)\rightarrow (a^{2}x,a^{2}y)}$${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$${\displaystyle ((at)^{2},(at)^{3})=(u^{2},u^{3})}$${\displaystyle u=at}$

Параметрическое представление регулярно, за исключением точки . В точке кривая имеет особенность (касп). Доказательство следует из касательного вектора . Только для этого вектор имеет нулевую длину.${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle (2t,3t^{2})}$${\displaystyle t=0}$

Дифференцируя полукубическую единичную параболу, получаем в точке верхней ветви уравнение касательной:${\displaystyle y=\pm x^{3/2}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle y={\frac {\sqrt {x_{0}}}{2}}\left(3x-x_{0}\right).}$

Эта касательная пересекает нижнюю ветвь ровно в одной точке с координатами ^[3]

${\displaystyle \left({\frac {x_{0}}{4}},-{\frac {y_{0}}{8}}\right).}$

(Для доказательства этого утверждения следует воспользоваться тем фактом, что касательная пересекает кривую дважды .)${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Определив длину дуги кривой, нужно решить интеграл. Для полукубической параболы получаем ${\displaystyle (x(t),y(t))}$${\textstyle \int {\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt.}$${\displaystyle (t^{2},at^{3}),\;0\leq t\leq b,}$

${\displaystyle \int _{0}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\;dt=\int _{0}^{b}t{\sqrt {4+9a^{2}t^{2}}}\;dt=\cdots =\left[{\frac {1}{27a^{2}}}\left(4+9a^{2}t^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\right]_{0}^{b}\;.}$

(Интеграл можно решить с помощью подстановки .)${\displaystyle u=4+9a^{2}t^{2}}$

Пример: При a = 1 (полукубическая единичная парабола) и b = 2, что соответствует длине дуги между началом координат и точкой (4,8), получаем длину дуги 9,073.

Эволюта параболы представляет собой полукубическую параболу, смещенную на 1/2 вдоль оси x :${\displaystyle (t^{2},t)}$${\textstyle \left({\frac {1}{2}}+t^{2},{\frac {4}{{\sqrt {3}}^{3}}}t^{3}\right).}$

Для того чтобы получить представление полукубической параболы в полярных координатах, определяют точку пересечения прямой с кривой. Так как есть одна точка, отличная от начала координат: Эта точка имеет расстояние от начала координат. С и (см. Список тождеств ) получаем ^[4]${\displaystyle (t^{2},at^{3})}$${\displaystyle y=mx}$${\displaystyle m\neq 0}$${\textstyle \left({\frac {m^{2}}{a^{2}}},{\frac {m^{3}}{a^{2}}}\right).}$${\textstyle {\frac {m^{2}}{a^{2}}}{\sqrt {1+m^{2}}}}$${\displaystyle m=\tan \varphi }$${\displaystyle \sec ^{2}\varphi =1+\tan ^{2}\varphi }$

${\displaystyle r=\left({\frac {\tan \varphi }{a}}\right)^{2}\sec \varphi \;,\quad -{\frac {\pi }{2}}<\varphi <{\frac {\pi }{2}}.}$

Отображение полукубической параболы с помощью проективного отображения ( инволютивная перспективность с осью и центром ) дает , следовательно, кубическую функцию. Точка возврата (начало координат) полукубической параболы меняется местами с точкой, находящейся в бесконечности оси Y.${\displaystyle (t^{2},t^{3})}$ ${\textstyle (x,y)\rightarrow \left({\frac {x}{y}},{\frac {1}{y}}\right)}$ ${\displaystyle y=1}$${\displaystyle (0,-1)}$${\textstyle \left({\frac {1}{t}},{\frac {1}{t^{3}}}\right),}$ ${\displaystyle y=x^{3}.}$

Это свойство можно вывести также, если представить полукубическую параболу однородными координатами : В уравнении (A) выполняется замена (линия на бесконечности имеет уравнение .) и умножение на . Получается уравнение кривой ${\displaystyle x={\tfrac {x_{1}}{x_{3}}},\;y={\tfrac {x_{2}}{x_{3}}}}$${\displaystyle x_{3}=0}$${\displaystyle x_{3}^{3}}$

• в однородных координатах :${\displaystyle x_{3}x_{2}^{2}-x_{1}^{3}=0.}$

Выбирая прямую в качестве линии на бесконечности и вводя , получаем (аффинную) кривую${\displaystyle x_{\color {red}2}=0}$${\displaystyle x={\tfrac {x_{1}}{x_{2}}},\;y={\tfrac {x_{3}}{x_{2}}}}$${\displaystyle y=x^{3}.}$

Дополнительным определяющим свойством полукубической параболы является то, что она является изохронной кривой , то есть частица, движущаяся по своему пути, будучи притянутой вниз гравитацией, проходит равные вертикальные интервалы за равные периоды времени. Таким образом, она связана с таутохронной кривой , для которой частицы в разных начальных точках всегда требуют одинакового времени, чтобы достичь дна, и брахистохронной кривой , кривой, которая минимизирует время, необходимое падающей частице для перемещения от начала до конца.

Полукубическая парабола была открыта в 1657 году Уильямом Нейлом, который вычислил длину ее дуги . Хотя длины некоторых других неалгебраических кривых, включая логарифмическую спираль и циклоиду, уже были вычислены (то есть эти кривые были выпрямлены ), полукубическая парабола была первой алгебраической кривой (исключая линию и окружность ), которая была выпрямлена. ^{[1] [ оспаривается (поскольку: Похоже, что парабола и другие конические сечения были выпрямлены задолго до этого) – обсудить ]}

• Август Пейн: Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten , 1875, Диссертация
• Клиффорд А. Пиковер: Длина полукубической параболы Нила

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Полукубическая парабола Нила», Архив истории математики Мактьютора , Университет Сент-Эндрюс