Полукруглая потенциальная яма

В квантовой механике случай частицы в одномерном кольце похож на случай частицы в коробке . Частица следует по траектории полуокружности от до , откуда она не может вырваться, поскольку потенциал от до бесконечен. Вместо этого происходит полное отражение, то есть частица отскакивает назад и вперед между до . Уравнение Шредингера для свободной частицы , которая ограничена полуокружностью (технически, конфигурационным пространством которой является окружность ), имеет вид ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle \пи}$${\displaystyle 2\пи}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \пи}$ ${\displaystyle S^{1}}$

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi }$$

1

Используя цилиндрические координаты на одномерной полуокружности, волновая функция зависит только от угловой координаты , и поэтому

$${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{s^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}$$

2

Подставляя Лапласиан в цилиндрические координаты, волновая функция выражается как

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2ms^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{d\phi ^{2}}}=E\psi }$$

3

Момент инерции полукруга, наилучшим образом выраженный в цилиндрических координатах, равен . Решая интеграл, находим, что момент инерции полукруга равен , точно так же, как и для обруча того же радиуса. Теперь волновую функцию можно выразить как , что легко решается.${\textstyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \iiint _{V}r^{2}\,\rho (r,\phi ,z)\,rdr\,d\phi \,dz\!}$${\displaystyle I=мс^{2}}$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}{\frac {d^{2}\psi {d\phi ^{2}}}=E\psi }$

Поскольку частица не может покинуть область от до , общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \пи}$

$${\displaystyle \psi (\phi)=A\cos(m\phi)+B\sin(m\phi)}$$

4

Определяя , мы можем вычислить энергию как . Затем применяем граничные условия, где и непрерывны, а волновая функция нормируема:${\textstyle m={\sqrt {\frac {2IE}{\hbar ^{2}}}}}$${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$${\displaystyle \пси}$${\displaystyle {\frac {d\psi {d\phi }}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left|\psi (\phi )\right|^{2}\,d\phi =1\ .}$$

5

Подобно бесконечной квадратной яме, первое граничное условие требует, чтобы волновая функция была равна 0 как при , так и . В принципе${\displaystyle \фи =0}$${\displaystyle \фи =\пи}$

$${\displaystyle \ \psi (0)=\psi (\pi)=0.}$$

6

Так как волновая функция , коэффициент A должен быть равен 0, так как . Волновая функция также равна 0 при , поэтому мы должны применить это граничное условие. Отбрасывая тривиальное решение, где B = 0, волновая функция только когда m является целым числом, так как . Это граничное условие квантует энергию, где энергия равна где m является любым целым числом. Условие m = 0 исключается, так как везде, что означает, что частица вообще не находится в потенциале. Отрицательные целые числа также исключаются, так как их можно легко поглотить в условии нормализации.${\displaystyle \psi (0)=0}$${\displaystyle \cos(0)=1}$${\displaystyle \фи =\пи}$${\displaystyle \psi (\pi)=0=B\sin(m\pi)}$${\displaystyle \sin(n\пи)=0}$${\textstyle E={\frac {m^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}$${\displaystyle \пси =0}$

Затем мы нормализуем волновую функцию, получая результат, где . Нормализованная волновая функция равна${\textstyle B={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$

$${\displaystyle \psi (\phi)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi).}$$

7

Энергия основного состояния системы равна . Подобно частице в ящике, существуют узлы в возбужденных состояниях системы, где и оба равны 0, что означает, что вероятность нахождения частицы в этих узлах равна 0.${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}}$${\displaystyle \psi (\phi)}$${\displaystyle \psi (\phi)^{2}}$

Поскольку волновая функция зависит только от азимутального угла , измеряемыми величинами системы являются угловое положение и угловой момент, выраженные с помощью операторов и соответственно.${\displaystyle \фи}$${\displaystyle \фи}$${\displaystyle L_{z}}$

Используя цилиндрические координаты, операторы и выражаются как и соответственно, где эти наблюдаемые играют роль, аналогичную положению и импульсу для частицы в ящике. Соотношения коммутации и неопределенности для углового положения и углового момента задаются следующим образом:${\displaystyle \фи}$${\displaystyle L_{z}}$${\displaystyle \фи}$${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{d\phi }}}$

$${\displaystyle [\phi,L_{z}]=i\hbar \ \psi (\phi)}$$

8

$${\displaystyle (\Delta \phi )(\Delta L_{z})\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$где и${\displaystyle \Delta _{\psi }\phi = {\sqrt {\langle {\phi }^{2} \rangle _ {\psi }-\langle {\phi }\rangle _ {\psi }^{2}}}}$${\displaystyle \Delta _{\psi }L_{z}={\sqrt {\langle {L_{z}}^{2}\rangle _{\psi }-\langle {L_{z}}\rangle _{\psi }^{2}}}}$

9

Как и во всех задачах квантовой механики, если граничные условия изменяются, то изменяется и волновая функция. Если частица ограничена движением всего кольца в диапазоне от 0 до , частица подчиняется только периодическому граничному условию (см. частица в кольце ). Если частица ограничена движением от до , вопрос четности и нечетности становится важным.${\displaystyle 2\пи}$${\textstyle -{\frac {\pi }{2}}}$${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$

Волновое уравнение для такого потенциала имеет вид:

$${\displaystyle \psi _{\rm {o}}(\phi)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(m\phi)}$$

10

$${\displaystyle \psi _{\rm {e}}(\phi)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(m\phi)}$$

11

где и — для нечетных и четных m соответственно.${\displaystyle \psi _ {\rm {o}}(\phi)}$${\displaystyle \psi _ {\rm {e}}(\phi)}$

Аналогично, если полукруглая потенциальная яма является конечной ямой, решение будет напоминать решение для конечной потенциальной ямы, где угловые операторы и заменяют линейные операторы x и p .${\displaystyle \фи}$${\displaystyle L_{z}}$

• Частица в кольце
• Частица в коробке
• Конечная потенциальная яма
• Дельта-функция потенциала
• Газ в коробке
• Частица в сферически-симметричном потенциале