Полупростой оператор

Линейный оператор

В математике линейный оператор T : V → V на векторном пространстве V является полупростым , если каждое T - инвариантное подпространство имеет дополнительное T - инвариантное подпространство. ^[1] Если T - полупростой линейный оператор на V, то V - полупростое представление T. Эквивалентно, линейный оператор является полупростым, если его минимальный многочлен является произведением различных неприводимых многочленов . ^[2]

Линейный оператор в конечномерном векторном пространстве над алгебраически замкнутым полем является полупростым тогда и только тогда, когда он диагонализируем . ^[1]^[3]

Над совершенным полем разложение Жордана –Шевалле выражает эндоморфизм как сумму полупростого эндоморфизма s и нильпотентного эндоморфизма n, таких что s и n являются полиномами от x . $x:V\to V$

Примечания

^ ab Lam (2001), стр. 39
^ Якобсон 1979, Абзац перед гл. II, § 5, Теорема 11.
^ Это тривиально по определению в терминах минимального многочлена, но может быть рассмотрено более непосредственно следующим образом. Такой оператор всегда имеет собственный вектор; если он, кроме того, полупрост, то он имеет дополнительную инвариантную гиперплоскость , которая сама имеет собственный вектор, и, таким образом, по индукции является диагонализируемой. Наоборот, диагонализируемые операторы легко увидеть полупростыми, поскольку инвариантные подпространства являются прямыми суммами собственных пространств, и любой базис для этого пространства может быть расширен до собственного базиса.

Ссылки

Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971). «Полупростые операторы». Линейная алгебра (2-е изд.). Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251.
Якобсон, Натан (1979). Алгебры Ли . Нью-Йорк. ISBN 0-486-63832-4. OCLC 6499793.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
Лам, Цит-Юэн (2001). Первый курс по некоммутативным кольцам . Выпускные тексты по математике. Т. 131 (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.

Эта статья по линейной алгебре — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

[Lam-2001-p39-1] Lam (2001), стр. 39

[2] Якобсон 1979, Абзац перед гл. II, § 5, Теорема 11.

[3] Это тривиально по определению в терминах минимального многочлена, но может быть рассмотрено более непосредственно следующим образом. Такой оператор всегда имеет собственный вектор; если он, кроме того, полупрост, то он имеет дополнительную инвариантную гиперплоскость , которая сама имеет собственный вектор, и, таким образом, по индукции является диагонализируемой. Наоборот, диагонализируемые операторы легко увидеть полупростыми, поскольку инвариантные подпространства являются прямыми суммами собственных пространств, и любой базис для этого пространства может быть расширен до собственного базиса.