Полурефлексивное пространство

В области математики, известной как функциональный анализ , полурефлексивное пространство — это локально выпуклое топологическое векторное пространство (TVS) X , такое, что каноническое оценочное отображение из X в его двунаправленное (которое является сильным дуальным X ) является биективным. Если это отображение также является изоморфизмом TVS , то оно называется рефлексивным .

Полурефлексивные пространства играют важную роль в общей теории локально выпуклых TVS. Поскольку нормируемое TVS является полурефлексивным тогда и только тогда, когда оно рефлексивно, понятие полурефлексивности в основном используется с TVS, которые не являются нормируемыми.

Определение и обозначения

Краткое определение

Предположим, что X — топологическое векторное пространство (TVS) над полем (которое является либо действительными, либо комплексными числами), непрерывное двойственное пространство которого , , разделяет точки на X (т.е. для любого существует некоторое такое, что ). Пусть и оба обозначают сильное двойственное пространство X , которое является векторным пространством непрерывных линейных функционалов на X , наделенным топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах X ; эта топология также называется сильной двойственной топологией и является топологией «по умолчанию», размещенной на непрерывном двойственном пространстве (если не указана другая топология). Если X — нормированное пространство, то сильное двойственное пространство X является непрерывным двойственным пространством с его обычной топологией нормы. Двойственное пространство X , обозначаемое , является сильным двойственным пространством ; то есть это пространство . [1] Ф {\displaystyle \mathbb {F} } Х ′ {\displaystyle X^{\prime}} х ∈ Х {\displaystyle x\in X} х ′ ∈ Х ′ {\displaystyle x^{\prime}\in X^{\prime}} х ′ ( х ) ≠ 0 {\displaystyle x^{\prime }(x)\neq 0} Х б ′ {\displaystyle X_{b}^{\prime}} Х β ′ {\displaystyle X_{\beta}^{\prime}} Х ′ {\displaystyle X^{\prime}} Х ′ {\displaystyle X^{\prime}} Х ′ ′ {\displaystyle X^{\prime \prime }} Х б ′ {\displaystyle X_{b}^{\prime}} ( Х б ′ ) б ′ {\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}

Для любого пусть определяется как , где называется оценочной картой в точке x ; поскольку обязательно непрерывно, то следует, что . Так как разделяет точки на X , отображение, определяемое как , является инъективным , где это отображение называется оценочной картой или канонической картой . Это отображение было введено Гансом Ханом в 1927 году. [2] х ∈ Х , {\displaystyle x\in X,} Дж. х : Х ′ → Ф {\displaystyle J_{x}:X^{\prime }\to \mathbb {F} } Дж. х ( х ′ ) = х ′ ( х ) {\displaystyle J_{x}\left(x^{\prime}\right)=x^{\prime}(x)} Дж. х {\displaystyle J_{x}} Дж. х : Х б ′ → Ф {\displaystyle J_{x}:X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} } Дж. х ∈ ( Х б ′ ) ′ {\displaystyle J_{x}\in \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }} Х ′ {\displaystyle X^{\prime}} Дж. : Х → ( Х б ′ ) ′ {\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }} Дж. ( х ) := Дж. х {\displaystyle J(x):=J_{x}}

Мы называем X полурефлексивным, если является биективным (или, что эквивалентно, сюръективным ), и мы называем X рефлексивным, если вдобавок является изоморфизмом TVS. [1] Если X является нормированным пространством, то J является TVS-вложением, а также изометрией на его область значений; кроме того, по теореме Голдстайна ( доказанной в 1938 году), область значений J является плотным подмножеством бидуального . [2] Нормируемое пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда оно полурефлексивно. Банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда, когда его замкнутый единичный шар является -компактным. [2] Дж. : Х → ( Х б ′ ) ′ {\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime }} Дж. : Х → Х ′ ′ = ( Х б ′ ) б ′ {\displaystyle J:X\to X^{\prime \prime }=\left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }} ( Х ′ ′ , σ ( Х ′ ′ , Х ′ ) ) {\displaystyle \left(X^{\prime \prime },\sigma \left(X^{\prime \prime },X^{\prime }\right)\right)} σ ( Х ′ , Х ) {\displaystyle \сигма \left(X^{\prime},X\right)}

Подробное определение

Пусть X — топологическое векторное пространство над числовым полем ( действительных чисел или комплексных чисел ). Рассмотрим его сильное сопряженное пространство , которое состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено сильной топологией , то есть топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах в X. Пространство является топологическим векторным пространством (точнее, локально выпуклым пространством), поэтому можно рассмотреть его сильное сопряженное пространство , которое называется сильным двусторонним пространством для X. Оно состоит из всех непрерывных линейных функционалов и снабжено сильной топологией . Каждый вектор порождает отображение по следующей формуле: Ф {\displaystyle \mathbb {F} } Р {\displaystyle \mathbb {R} } С {\displaystyle \mathbb {C} } Х б ′ {\displaystyle X_{b}^{\prime}} ф : Х → Ф {\displaystyle f:X\to \mathbb {F} } б ( Х ′ , Х ) {\displaystyle b\left(X^{\prime},X\right)} Х б ′ {\displaystyle X_{b}^{\prime}} ( Х б ′ ) б ′ {\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }} час : Х б ′ → Ф {\displaystyle h:X_{b}^{\prime }\to {\mathbb {F} }} б ( ( Х б ′ ) ′ , Х б ′ ) {\displaystyle b\left(\left(X_{b}^{\prime }\right)^{\prime },X_{b}^{\prime }\right)} х ∈ Х {\displaystyle x\in X} Дж. ( х ) : Х б ′ → Ф {\displaystyle J(x):X_{b}^{\prime }\to \mathbb {F} }

Дж. ( х ) ( ф ) = ф ( х ) , ф ∈ Х ′ . {\displaystyle J(x)(f)=f(x),\qquad f\in X'.}

Это непрерывный линейный функционал на , то есть, . Получается карта, называемая оценочной картой или канонической инъекцией : Х б ′ {\displaystyle X_{b}^{\prime}} Дж. ( х ) ∈ ( Х б ′ ) б ′ {\displaystyle J(x)\in \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}

Дж. : Х → ( Х б ′ ) б ′ . {\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }.}

что является линейным отображением. Если X локально выпукло, из теоремы Хана–Банаха следует, что J инъективно и открыто (то есть для каждой окрестности нуля в X существует окрестность нуля V в , такая что ). Но оно может быть несюръективным и/или разрывным. У {\displaystyle U} ( Х б ′ ) б ′ {\displaystyle \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }} Дж. ( У ) ⊇ В ∩ Дж. ( Х ) {\ displaystyle J (U) \ supseteq V \ cap J (X)}

Локально выпуклое пространство называется полурефлексивным, если отображение оценки сюръективно (следовательно, биективно); оно называется рефлексивным, если отображение оценки сюръективно и непрерывно, и в этом случае J будет изоморфизмом TVS ). Х {\displaystyle X} Дж. : Х → ( Х б ′ ) б ′ {\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }} Дж. : Х → ( Х б ′ ) б ′ {\displaystyle J:X\to \left(X_{b}^{\prime }\right)_{b}^{\prime }}

Характеристика полурефлексивных пространств

Если X — хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны:

  1. X является полурефлексивным;
  2. слабая топология на X имеет свойство Гейне-Бореля (то есть для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество является слабо компактным). [1] σ ( Х , Х ′ ) {\displaystyle \сигма \left(X,X^{\prime}\right)} Х σ {\displaystyle X_{\сигма}}
  3. Если линейная форма на этом непрерывна, когда имеет сильную двойственную топологию, то она непрерывна, когда имеет слабую топологию; [3] Х ′ {\displaystyle X^{\prime}} Х ′ {\displaystyle X^{\prime}} Х ′ {\displaystyle X^{\prime}}
  4. Х τ ′ {\displaystyle X_{\tau }^{\prime }} является бочкообразным , где указывает топологию Макки на ; [3] τ {\displaystyle \тау} Х ′ {\displaystyle X^{\prime}}
  5. X слабая слабая топология является квазиполной . [3] σ ( Х , Х ′ ) {\displaystyle \сигма \left(X,X^{\prime}\right)}

Теорема [4]  —  Локально выпуклое хаусдорфово пространство полурефлексивно тогда и только тогда, когда с -топологией обладает свойством Гейне–Бореля (т.е. слабо замкнутые и ограниченные подмножества слабо компактны). Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X} σ ( Х , Х ′ ) {\displaystyle \сигма \left(X,X^{\prime}\right)} Х {\displaystyle X}

Достаточные условия

Каждое полумонтелевское пространство является полурефлексивным, и каждое монтелевское пространство является рефлексивным.

Характеристики

Если — локально выпуклое хаусдорфово пространство, то каноническая инъекция из в его двусмысленное пространство является топологическим вложением тогда и только тогда, когда является инфрабочечным. [5] Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X}

Сильное сопряженное пространство полурефлексивного пространства является бочкообразным . Каждое полурефлексивное пространство является квазиполным . [3] Каждое полурефлексивное нормированное пространство является рефлексивным банаховым пространством. [6] Сильное сопряженное пространство полурефлексивного пространства является бочкообразным. [7]

Рефлексивные пространства

Если X — хаусдорфово локально выпуклое пространство, то следующие условия эквивалентны:

  1. X является рефлексивным ;
  2. X — полурефлексивный и бочкообразный ;
  3. X является бочкообразным, а слабая топология на X имеет свойство Гейне-Бореля (что означает, что для слабой топологии каждое замкнутое и ограниченное подмножество является слабо компактным). [1] σ ( Х , Х ′ ) {\displaystyle \сигма \left(X,X^{\prime}\right)} Х σ {\displaystyle X_{\сигма}}
  4. X является полурефлексивным и квазибочкообразным . [8]

Если X — нормированное пространство , то следующие условия эквивалентны:

  1. X рефлексивен;
  2. замкнутый единичный шар компактен, когда X имеет слабую топологию . [9] σ ( Х , Х ′ ) {\displaystyle \сигма \left(X,X^{\prime}\right)}
  3. X — банахово пространство, рефлексивное. [10] Х б ′ {\displaystyle X_{b}^{\prime}}

Примеры

Каждое нерефлексивное бесконечномерное банахово пространство является выделенным пространством , которое не является полурефлексивным. [11] Если — плотное собственное векторное подпространство рефлексивного банахова пространства, то — нормированное пространство, которое не является полурефлексивным, но его сильное сопряженное пространство является рефлексивным банаховым пространством. [11] Существует полурефлексивное счетно-бочковое пространство , которое не является бочечным . [11] Х {\displaystyle X} Х {\displaystyle X}

Смотрите также

Цитаты

  1. ^ abcd Treves 2006, стр. 372–374.
  2. ^ abc Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 225–273.
  3. ^ abcd Шефер и Вольф 1999, стр. 144.
  4. ^ Эдвардс 1965, 8.4.2.
  5. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 488–491.
  6. ^ Шефер и Вольф 1999, стр. 145.
  7. ^ Эдвардс 1965, 8.4.3.
  8. ^ Халилулла 1982, стр. 32–63.
  9. ^ Трев 2006, стр. 376.
  10. ^ Трев 2006, стр. 377.
  11. ^ abc Khaleelulla 1982, стр. 28–63.

Библиография

  • Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
  • Эдвардс, Р. Э. (1965). Функциональный анализ. Теория и приложения . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030505356.
  • Джон Б. Конвей , Курс функционального анализа , Springer, 1985.
  • Джеймс, Роберт С. (1972), Некоторые самодвойственные свойства нормированных линейных пространств. Симпозиум по бесконечномерной топологии (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 1967) , Ann. of Math. Studies, т. 69, Принстон, Нью-Джерси: Princeton Univ. Press, стр. 159–175.
  • Халилулла, SM (1982). Контрпримеры в топологических векторных пространствах . Конспект лекций по математике . Том 936. Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC  8588370.
  • Колмогоров, А. Н.; Фомин, С. В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа, том 1: Метрические и нормированные пространства . Рочестер: Graylock Press.
  • Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банаховых пространств , Graduate Texts in Mathematics, т. 183, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. xx+596, ISBN 0-387-98431-3.
  • Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
  • Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.
  • Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
  • Wilansky, Albert (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Полурефлексивное_пространство&oldid=1226812168"