Метод Шварца с чередованием

В математике альтернирующий метод Шварца или альтернирующий процесс — это итерационный метод, введенный в 1869–1870 годах Германом Шварцем в теории конформного отображения . Учитывая две перекрывающиеся области в комплексной плоскости, в каждой из которых можно было решить задачу Дирихле , Шварц описал итерационный метод решения задачи Дирихле в их объединении, при условии, что их пересечение было соответствующим образом хорошо себя ведет. Это был один из нескольких конструктивных методов конформного отображения, разработанных Шварцем как вклад в проблему униформизации , поставленную Риманом в 1850-х годах и впервые строго решенную Кёбе и Пуанкаре в 1907 году. Он предоставил схему для униформизации объединения двух областей, зная, как униформизировать каждую из них по отдельности, при условии, что их пересечение было топологически диском или кольцом. С 1870 года Карл Нейман также внес свой вклад в эту теорию.

В 1950-х годах метод Шварца был обобщен в теории уравнений с частными производными до итерационного метода нахождения решения эллиптической краевой задачи на области, которая является объединением двух перекрывающихся подобластей. Он включает в себя решение краевой задачи на каждой из двух подобластей по очереди, всегда принимая последние значения приближенного решения в качестве следующих граничных условий . Он используется в численном анализе под названием мультипликативного метода Шварца (в противовес аддитивному методу Шварца ) как метод декомпозиции области .

Впервые он был сформулирован Х. А. Шварцем ^[1] и служил теоретическим инструментом: его сходимость для общих эллиптических уравнений в частных производных второго порядка была впервые доказана гораздо позже, в 1951 году, Соломоном Михлиным . ^[2]

Исходная задача, рассмотренная Шварцем, была задачей Дирихле (с уравнением Лапласа ) на области, состоящей из круга и частично перекрывающегося квадрата. Чтобы решить задачу Дирихле на одной из двух подобластей (квадрате или круге), значение решения должно быть известно на границе : поскольку часть границы содержится в другой подобласти, задача Дирихле должна быть решена совместно на двух подобластях. Вводится итерационный алгоритм:

1. Сделайте первую догадку о решении на граничной части круга, которая содержится в квадрате.
2. Решить задачу Дирихле на окружности
3. Используйте решение в (2) для аппроксимации решения на границе квадрата.
4. Решить задачу Дирихле на квадрате.
5. Используйте решение в (4) для аппроксимации решения на границе круга, затем перейдите к шагу (2).

При сходимости решение по перекрытию одинаково при вычислении на квадрате или на круге.

Скорость сходимости зависит от размера перекрытия между поддоменами и от условий передачи (граничных условий, используемых в интерфейсе между поддоменами). Можно увеличить скорость сходимости методов Шварца, выбрав адаптированные условия передачи: эти методы тогда называются оптимизированными методами Шварца. ^[3]

• Теорема униформизации
• производная Шварца
• Карта треугольника Шварца
• Принцип отражения Шварца
• Аддитивный метод Шварца

Оригинальные документы

• Шварц, HA (1869), «Über einige Abbildungsaufgaben», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 1869 (70): 105–120 , doi :10.1515/crll.1869.70.105, S2CID  121291546
• Шварц, HA (1870a), «Über die Integration der partiellen Differentialgleichung ∂ ² u /∂ x ² + ∂ ² u /∂ y ² = 0 unter vorgeschriebenen Grenz- und Unstetigkeitbedingungen», Monatsberichte der Königlichen Akademie der Wissenschaft zu Berlin : 767–795​
• Шварц, HA (1870b), «Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren», Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft в Цюрихе , 15 : 272–286 , JFM  02.0214.02
• Нойман, Карл (1870), «Zur Theorie des Potentiales», Math. Энн. , 2 (3): 514, номер документа : 10.1007/bf01448242, S2CID  122015888
• Нойман, Карл (1877), Untersuchungen über das logarithmische und Newton'sche Potential , Тойбнер
• Нойман, Карл (1884), Vorlesungen über Riemann's Theorie der abelschen Integrale (2-е изд.), Тойбнер

Конформное отображение и гармонические функции

• Неванлинна, Рольф (1939), «Über das alternierende Verfahren von Schwarz», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 1939 (180): 121–128 , doi :10.1515/crll.1939.180.121, S2CID  199546268
• Неванлинна, Рольф (1939), «Bemerkungen zum alternierenden Verfahren», Monatshefte für Mathematik und Physik , 48 : 500–508 , doi : 10.1007/bf01696203, S2CID  123260734
• Неванлинна, Рольф (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, vol. 64, Спрингер
• Сарио, Лео (1953), «Переменный метод на произвольных римановых поверхностях», Pacific J. Math. , 3 (3): 631– 645, doi : 10.2140/pjm.1953.3.631
• Моргенштерн, Дитрих (1956), «Begründung des alternierenden Verfahrens durch Orthogonalprojektion», З. Ангью. Математика. Мех. , 36 ( 7–8 ): 255–256 , Бибкод : 1956ZaMM...36..255M, doi : 10.1002/zamm.19560360711, hdl : 10338.dmlcz/100409
• Кон, Харви (1980), Конформное отображение на римановых поверхностях , Довер, стр.  242–262 , ISBN 0-486-64025-6, Глава 12, Альтернативные процедуры
• Гарнетт, Джон Б.; Маршалл, Дональд Э. (2005), Гармоническая мера , Cambridge University Press, ISBN 1139443097
• Фрайтаг, Эберхард (2011), Комплексный анализ. 2. Римановы поверхности, несколько комплексных переменных, абелевы функции, высшие модулярные функции , Springer, ISBN 978-3-642-20553-8
• де Сен-Жерве, Анри Поль (2016), Униформизация римановых поверхностей: пересмотр теоремы столетней давности, Наследие европейской математики, перевод Роберта Г. Бернса, Европейское математическое общество, doi : 10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3, перевод французского текста
• Чорле, Рено (2007), L' émergence du пары локально-глобальных в les theories géométriques, Бернхарда Римана à la theorie des faisceaux (PDF) , стр.  123–134(цитируется по Сен-Жерве)
• Боттаццини, Умберто; Грей, Джереми (2013), Скрытая гармония — геометрические фантазии: расцвет теории комплексных функций , Источники и исследования по истории математики и физических наук, Springer, ISBN 978-1461457251

PDE и численный анализ

• Михлин С. Г. (1951), "Об алгоритме Шварца", Доклады АН СССР , н. Сер. (на русском языке), 77 : 569–571 , ​​МР  0041329, Збл  0054.04204

• Соломенцев, Э.Д. (2001) [1994], "Метод альтернирования Шварца", Энциклопедия математики , Издательство EMS