Отображение Шварца–Кристоффеля

В комплексном анализе отображение Шварца–Кристоффеля — это конформное отображение верхней полуплоскости или комплексного единичного круга на внутреннюю часть простого многоугольника . Такое отображение гарантированно существует по теореме об отображении Римана (сформулированной Бернхардом Риманом в 1851 году); формула Шварца–Кристоффеля обеспечивает явное построение. Они были введены независимо Элвином Кристоффелем в 1867 году и Германом Шварцем в 1869 году.

Отображения Шварца–Кристоффеля используются в теории потенциала и некоторых ее приложениях, включая минимальные поверхности , гиперболическое искусство и гидродинамику .

Рассмотрим многоугольник в комплексной плоскости. Теорема Римана об отображении подразумевает, что существует биголоморфное отображение f из верхней полуплоскости

${\displaystyle \{\zeta \in \mathbb {C}:\operatorname {Im} \zeta >0\}}$

к внутренней части многоугольника. Функция f отображает действительную ось на ребра многоугольника. Если многоугольник имеет внутренние углы , то это отображение задается как ${\displaystyle \альфа,\бета,\гамма,\ldots}$

${\displaystyle f(\zeta)=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(wa)^{1-(\alpha /\pi)}(wb)^{1-(\beta /\ pi )}(wc)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,\mathrm {d} w}$

где — константа , а — значения вдоль действительной оси плоскости точек, соответствующих вершинам многоугольника на плоскости. Преобразование такого вида называется отображением Шварца–Кристоффеля .${\displaystyle К}$${\displaystyle а<b<c<\cdots }$${\displaystyle \дзета}$${\displaystyle z}$

Интеграл можно упростить, отобразив точку на бесконечности плоскости в одну из вершин плоского многоугольника. При этом первый множитель в формуле становится константой и, таким образом, может быть поглощен константой . Традиционно, точка на бесконечности будет отображена в вершину с углом .${\displaystyle \дзета}$${\displaystyle z}$${\displaystyle К}$${\displaystyle \альфа}$

На практике, чтобы найти отображение на определенный многоугольник, нужно найти значения , которые генерируют правильные длины сторон многоугольника. Это требует решения набора нелинейных уравнений, и в большинстве случаев может быть сделано только численно . ^[1]${\displaystyle а<b<c<\cdots }$

Рассмотрим полубесконечную полосу в плоскости z . Это можно рассматривать как предельную форму треугольника с вершинами P = 0 , Q = π i и R (где R действительно), поскольку R стремится к бесконечности. Теперь α = 0 и β = γ = π ⁄ 2 в пределе. Предположим, что мы ищем отображение f с f (−1) = Q , f (1) = P и f (∞) = R. Тогда f задается как

${\displaystyle f(\zeta)=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}}}\,\ матрм {d} w.\,}$

Оценка этого интеграла дает

${\displaystyle z=f(\zeta)=C+K\operatorname {arcosh} \zeta,}$

где C — (комплексная) константа интегрирования. Требуя, чтобы f (−1) = Q и f (1) = P , получаем C = 0 и K = 1. Следовательно, отображение Шварца–Кристоффеля задается как

${\displaystyle z=\operatorname {arcosh} \zeta .}$

Ниже схематически показано это преобразование.

Отображение на плоский треугольник с внутренними углами и задается формулой${\displaystyle \пи а,\,\пи б}$${\displaystyle \пи (1-ab)}$

${\displaystyle z=f(\zeta)=\int ^{\zeta }{\frac {dw}{(w-1)^{1-a}(w+1)^{1-b}}}, }$

которые можно выразить через гипергеометрические функции или неполные бета-функции .

Верхняя полуплоскость отображается в треугольник с дугами окружностей вместо рёбер с помощью отображения треугольника Шварца .

Верхняя полуплоскость отображается в квадрат с помощью

${\displaystyle z=f(\zeta)=\int ^{\zeta }{\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {w(1-w^{2})}}}={\sqrt {2}}\,F\left({\sqrt {\zeta +1}};{\sqrt {2}}/2\right),}$

где F — неполный эллиптический интеграл первого рода.

• Производная Шварца появляется в теории отображений Шварца–Кристоффеля.

• Кристоффель, Элвин Бруно (1867). «К проблеме стационарных температур и представлению заданной поверхности». Annali di Matematica Pura ed Applicata (на итальянском языке). 1 : 89–103 . doi : 10.1007/BF02419161. S2CID  121089696.
• Дрисколл, Тобин А.; Трефетен, Ллойд Н. (2002). Картографирование Шварца–Кристоффеля . Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9780511546808. ISBN 9780521807265.
• Шварц, Герман Амандус (1869). «Ueber einige Abbildungsaufgaben» [О некоторых проблемах картографии]. Журнал Крелля (на немецком языке). 1869 (70): 105–120 . doi : 10.1515/crll.1869.70.105. S2CID  121291546.
• Форсайт, Эндрю Рассел (1918) [1-е изд. 1893]. Теория функций комплексной переменной . Кембридж.§§267–270, стр. 665–677.
• Нехари, Зеев (1982) [1952], Конформное отображение , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61137-2, МР  0045823
• Конформный гиперболический квадрат и его аналоги Чемберлен Фонг, Материалы конференции Bridges Finland, 2016 г.

Аналог отображения SC, который работает также для многосвязных объектов, представлен в: Case, James (2008), "Breakthrough in Conformal Mapping" (PDF) , SIAM News , 41 (1).

• «Преобразование Шварца – Кристоффеля». ПланетаМатематика .
• Набор инструментов Шварца – Кристоффеля (программное обеспечение для MATLAB )