Шур-выпуклая функция

В математике функция Шура-выпуклая , также известная как S-выпуклая , изотоническая функция и функция сохранения порядка, — это функция , которая для всех таких, что мажорируется , имеет место, что . Названные в честь Иссая Шура , функции Шура-выпуклые используются при изучении мажорирования . ф : Р г → Р {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} } х , у ∈ Р г {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у} ф ( х ) ≤ ф ( у ) {\displaystyle f(x)\leq f(y)}

Функция f является «вогнутой по Шуру», если ее отрицательное число, − f , является выпуклым по Шуру.

Характеристики

Каждая функция, которая является выпуклой и симметричной (относительно перестановок аргументов), является также выпуклой по Шуру.

Каждая выпуклая по Шуру функция симметрична, но не обязательно выпукла. [1]

Если (строго) выпукло по Шуру и (строго) монотонно возрастает, то (строго) выпукло по Шуру. ф {\displaystyle f} г {\displaystyle г} г ∘ ф {\displaystyle g\circ f}

Если — выпуклая функция, определенная на действительном интервале, то — выпуклая по Шуру. г {\displaystyle г} ∑ я = 1 н г ( х я ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}g(x_{i})}

Критерий Шура–Островского

Если f симметрична и существуют все первые частные производные, то f является выпуклой по Шуру тогда и только тогда, когда

( х я − х дж ) ( ∂ ф ∂ х я − ∂ ф ∂ х дж ) ≥ 0 {\displaystyle (x_{i}-x_{j})\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)\geq 0} для всех х ∈ Р г {\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}

справедливо для всех . [2] 1 ≤ я , дж ≤ г {\displaystyle 1\leq i,j\leq d}

Примеры

  • ф ( х ) = мин ( х ) {\displaystyle f(x)=\min(x)} является вогнутым по Шуру, а является выпуклым по Шуру. Это можно увидеть непосредственно из определения. ф ( х ) = макс ( х ) {\displaystyle f(x)=\max(x)}
  • Функция энтропии Шеннона является вогнутой по Шуру. ∑ я = 1 г П я ⋅ бревно 2 ⁡ 1 П я {\displaystyle \sum _{i=1}^{d}{P_{i}\cdot \log _{2}{\frac {1}{P_{i}}}}}
  • Функция энтропии Реньи также является вогнутой по Шуру.
  • х ↦ ∑ я = 1 г х я к , к ≥ 1 {\displaystyle x\mapsto \sum _{i=1}^{d}{x_{i}^{k}},k\geq 1} является Шур-выпуклым, если , и Шур-вогнутым, если . к ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1} к ∈ ( 0 , 1 ) {\displaystyle к\в (0,1)}
  • Функция является вогнутой по Шуру, когда мы предполагаем, что все . Точно так же все элементарные симметричные функции являются вогнутыми по Шуру, когда . ф ( х ) = ∏ я = 1 г х я {\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{d}x_{i}} х я > 0 {\displaystyle x_{i}>0} х я > 0 {\displaystyle x_{i}>0}
  • Естественная интерпретация мажорирования заключается в том, что если то менее распространено, чем . Поэтому естественно спросить, являются ли статистические меры изменчивости выпуклыми по Шуру. Дисперсия и стандартное отклонение являются выпуклыми по Шуру функциями, тогда как медианное абсолютное отклонение таковым не является. х ≻ у {\displaystyle x\succ y} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у}
  • Пример вероятности: если — взаимозаменяемые случайные величины , то функция является выпуклой по Шуру как функция , предполагая, что ожидания существуют. Х 1 , … , Х н {\displaystyle X_{1},\точки ,X_{n}} Э ∏ дж = 1 н Х дж а дж {\displaystyle {\text{E}}\prod _{j=1}^{n}X_{j}^{a_{j}}} а = ( а 1 , … , а н ) {\displaystyle a=(a_{1},\точки,a_{n})}
  • Коэффициент Джини строго выпуклый по Шуру.

Ссылки

  1. ^ Робертс, А. Уэйн; Варберг, Дэйл Э. (1973). Выпуклые функции . Нью-Йорк: Academic Press. стр. 258. ISBN 9780080873725.
  2. ^ E. Peajcariaac, Josip; L. Tong, Y. (3 июня 1992 г.). Выпуклые функции, частичные упорядочения и статистические приложения . Academic Press. стр. 333. ISBN 9780080925226.

Смотрите также


Значок заглушки

Эта статья, связанная с математическим анализом , является заглушкой . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schur-выпуклая_функция&oldid=1252799700#Schur-вогнутая_функция"