Неравенство Шура

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без источников могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Неравенство Шура» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике неравенство Шура , названное в честь Иссая Шура , устанавливает, что для всех неотрицательных действительных чисел x , y , z и t>0 ,

${\displaystyle x^{t}(xy)(xz)+y^{t}(yz)(yx)+z^{t}(zx)(zy)\geq 0}$

с равенством тогда и только тогда, когда x = y = z или два из них равны, а третий равен нулю. Когда t — четное положительное целое число , неравенство выполняется для всех действительных чисел x , y и z .

Когда , можно вывести следующий известный частный случай:${\displaystyle т=1}$

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)}$

Так как неравенство симметрично относительно , ​​то без потери общности можно предположить, что . Тогда неравенство${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle x\geq y\geq z}$

${\displaystyle (xy)[x^{t}(xz)-y^{t}(yz)]+z^{t}(xz)(yz)\geq 0}$

очевидно, выполняется, поскольку каждый член в левой части неравенства неотрицателен. Это перестраивается в неравенство Шура.

Обобщение неравенства Шура следующее: Предположим, что a,b,c — положительные действительные числа. Если тройки (a,b,c) и (x,y,z) отсортированы аналогичным образом , то выполняется следующее неравенство:

${\ displaystyle a (xy) (xz) + b (yz) (yx) + c (zx) (zy) \ geq 0.}$

В 2007 году румынский математик Валентин Ворнику показал, что справедлива еще одна обобщенная форма неравенства Шура:

Рассмотрим , где , и либо , либо . Пусть , и пусть будет либо выпуклым , либо монотонным . Тогда,${\displaystyle a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a\geq b\geq c}$${\displaystyle x\geq y\geq z}$${\displaystyle z\geq y\geq x}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}}$

${\displaystyle {f(x)(ab)^{k}(ac)^{k}+f(y)(ba)^{k}(bc)^{k}+f(z)(ca)^ {k}(cb)^{k}\geq 0}.}$

Стандартная форма Шура — это случай неравенства, где x = a , y = b , z = c , k = 1, ƒ ( m ) = m ^r . ^[1]

Другое возможное расширение гласит, что если неотрицательные действительные числа с и положительное действительное число t таковы, что x  +  v  ≥  y  +  z, то ^[2]${\displaystyle х\geq y\geq z\geq v}$

${\displaystyle x^{t}(xy)(xz)(xv)+y^{t}(yx)(yz)(yv)+z^{t}(zx)(zy)(zv)+v^ {t}(vx)(vy)(vz)\geq 0.}$