проблема Шоттки
Математический вопрос по алгебраической геометрии

В математике проблема Шоттки, названная в честь Фридриха Шоттки , является классической задачей алгебраической геометрии , требующей характеристики якобиевых многообразий среди абелевых многообразий .

Геометрическая формулировка

Точнее, следует рассматривать алгебраические кривые заданного рода и их якобианы . Существует пространство модулей таких кривых и пространство модулей абелевых многообразий , , размерности , которые главно поляризованы . Существует морфизм С {\displaystyle С} г {\displaystyle г} Жак ⁡ ( С ) {\displaystyle \operatorname {Жак} (C)} М г {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}} А г {\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}} г {\displaystyle г}

Жак : М г → А г {\displaystyle \operatorname {Жак} :{\mathcal {M}}_{г}\to {\mathcal {A}}_{г}}

которая на точках ( точнее, геометрических точках ) переводит класс изоморфизма в . Содержание теоремы Торелли заключается в том, что является инъективным (опять же, на точках). Проблема Шоттки требует описания образа , обозначаемого . [1] [ С ] {\displaystyle [С]} [ Жак ⁡ ( С ) ] {\displaystyle [\operatorname {Jac} (C)]} Жак {\displaystyle \operatorname {Джак} } Жак {\displaystyle \operatorname {Джак} } Дж. г = Жак ⁡ ( М г ) {\displaystyle {\mathcal {J}}_{g}=\operatorname {Jac} ({\mathcal {M}}_{g})}

Размерность равна , [2] для , в то время как размерность равна g ( g + 1)/2. Это означает, что размерности одинаковы (0, 1, 3, 6) для g = 0, 1, 2, 3. Поэтому это первый случай, когда размерности изменяются, и это было изучено Ф. Шоттки в 1880-х годах. Шоттки применил тета-константы , которые являются модулярными формами для верхнего полупространства Зигеля , чтобы определить локус Шоттки в . Более точная форма вопроса заключается в том, чтобы определить, совпадает ли по существу изображение с локусом Шоттки (другими словами, является ли оно там плотным по Зарискому ). М г {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}} 3 г − 3 {\displaystyle 3g-3} г ≥ 2 {\displaystyle g\geq 2} А г {\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}} г = 4 {\displaystyle г=4} А г {\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}} Жак {\displaystyle \operatorname {Джак} }

Корпус размера 1

Все эллиптические кривые являются якобианами самих себя, поэтому стек модулей эллиптических кривых является моделью для . М 1 , 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{1,1}} А 1 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}}

Размеры 2 и 3

В случае абелевых поверхностей существует два типа абелевых многообразий: [3] якобиан кривой рода 2 или произведение якобианов эллиптических кривых . Это означает, что пространства модулей

М 2 , М 1 , 1 × М 1 , 1 {\displaystyle {\mathcal {M}}_{2},{\mathcal {M}}_{1,1}\times {\mathcal {M}}_{1,1}}

встроить в . Аналогичное описание существует для размерности 3, поскольку абелево многообразие может быть произведением якобианов. А 2 {\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}

Формулировка периодической решетки

Если описать пространство модулей в интуитивных терминах, как параметры, от которых зависит абелево многообразие, то проблема Шоттки просто спрашивает, какое условие на параметры подразумевает, что абелево многообразие происходит из якобиана кривой. Классический случай над полем комплексных чисел получил большую часть внимания, и тогда абелево многообразие A — это просто комплексный тор определенного типа, возникающий из решетки в C g . В относительно конкретных терминах спрашивается, какие решетки являются решетками периодов компактных римановых поверхностей . А г {\displaystyle {\mathcal {A}}_{g}}

Матричная формулировка Римана

Обратите внимание, что матрица Римана существенно отличается от любого тензора Римана.

Одним из главных достижений Бернхарда Римана была его теория комплексных торов и тета-функций . Используя тета-функцию Римана , необходимые и достаточные условия на решетке были записаны Риманом для решетки в C g , чтобы иметь соответствующее вложение тора в комплексное проективное пространство . (Интерпретация могла появиться позже, с Соломоном Лефшецем , но теория Римана была окончательной.) Данные - это то, что сейчас называется матрицей Римана . Поэтому комплексная проблема Шоттки становится вопросом характеристики матриц периодов компактных римановых поверхностей рода g , образованных путем интегрирования базиса для абелевых интегралов вокруг базиса для первой группы гомологий , среди всех матриц Римана. Она была решена Такахиро Сиотой в 1986 году. [4]

Геометрия задачи

Существует ряд геометрических подходов, и было также показано, что этот вопрос подразумевает уравнение Кадомцева–Петвиашвили , связанное с теорией солитонов .

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Грушевский, Сэмюэл (29.09.2010). «Проблема Шоттки». arXiv : 1009.0369 [math.AG].
  2. ^ следует из элементарной теории деформации
  3. ^ Оорт, Ф. (1973). Главным образом поляризованные абелевы многообразия размерности два или три являются якобиевыми многообразиями (PDF) . Aarhus Universitet. Matematisk Institut. OCLC  897746916. Архивировано из оригинала 9 июня 2020 г.
  4. ^ Сиота, Такахиро (1986). «Характеристика якобиевых многообразий в терминах солитонных уравнений». Inventiones Mathematicae . 83 (2): 333–382. Bibcode : 1986InMat..83..333S. doi : 10.1007/BF01388967. S2CID  120739493.
  • Бовилль, Арно (1987), «Проблема Шоттки и гипотеза Новикова», Asterisque , Séminaire Bourbaki (152): 101–112, ISSN  0303-1179, MR  0936851
  • Дебарр, Оливье (1995), «Проблема Шоттки: обновление», Текущие темы в комплексной алгебраической геометрии (Беркли, Калифорния, 1992/93) , Math. Sci. Res. Inst. Publ., т. 28, Cambridge University Press , стр. 57–64, MR  1397058
  • Гир, Г. ван дер (2001) [1994], "Проблема Шоттки", Энциклопедия математики , EMS Press
  • Грушевский, Сэмюэл (2011), «Проблема Шоттки» (PDF) , в Капорасо, Люсия ; МакКернан, Джеймс; Попа, Михнеа; и др. (ред.), Текущие разработки в алгебраической геометрии , MSRI Publications, т. 59, ISBN 978-0-521-76825-2
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Проблема_Шоттки&oldid=1235027761"