Шлефли дабл-шесть
Двойная шестерка Шлефли

В геометрии двойная шестерка Шлефли — это конфигурация из 30 точек и 12 прямых в трехмерном евклидовом пространстве , введенная Людвигом Шлефли в 1858 году. [1] Прямые конфигурации можно разбить на два подмножества по шесть прямых: каждая прямая не пересекается ( косится ) с прямыми в своем собственном подмножестве из шести прямых и пересекает все, кроме одной, прямые в другом подмножестве из шести прямых. Каждая из 12 прямых конфигурации содержит пять точек пересечения, и каждая из этих 30 точек пересечения принадлежит ровно двум прямым, по одной из каждого подмножества, поэтому в обозначениях конфигураций двойная шестерка Шлефли записывается как 30 2 12 5 . [2]

Строительство

Как показал Шлефли, двойная шестерка может быть построена из любых пяти прямых a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , которые все пересекаются общей прямой b 6 , но в остальном находятся в общем положении (в частности, каждые две прямые a i и a j должны быть скрещивающимися , и никакие четыре прямые a i не должны лежать на общей линейчатой ​​поверхности ). Для каждой из пяти прямых a i дополнительный набор из четырех из пяти прямых имеет два квадрисектиса : b 6 и вторую прямую b i . Пять прямых b 1 , b 2 , b 3 , b 4 и b 5 , образованные таким образом, в свою очередь пересекаются другой прямой a 6 . Двенадцать прямых a i и b i образуют двойную шестерку: каждая линия a i имеет точку пересечения с пятью другими прямыми, прямыми b j , для которых i  ≠  j , и наоборот. [3]

Альтернативное построение, показанное на рисунке, заключается в размещении двенадцати линий через шесть центров граней куба , каждая из которых находится в плоскости своей грани и все образуют одинаковые углы по отношению к ребрам куба. [4] После построения любым из этих способов двойную шестерку можно спроецировать на плоскость, образовав двумерную систему точек и линий с той же схемой падения.

Граф короны с 12 вершинами , граф пересечения линий двойной шестерки

Общая кубическая поверхность содержит 27 линий, среди которых можно найти 36 конфигураций двойной шестерки Шлефли. Может потребоваться использовать комплексные числовые координаты для представления всех этих линий; кубические поверхности могут иметь менее 27 линий над действительными числами . В любом таком наборе из 27 линий 15 линий, дополнительных к двойной шестерке, вместе с 15 касательными плоскостями, проходящими через тройки этих линий, имеют схему инцидентности другой конфигурации, конфигурации Кремоны–Ричмонда . [5]

Граф пересечения двенадцати линий конфигурации двойной шестерки является графом короны с двенадцатью вершинами , двудольным графом , в котором каждая вершина смежна с пятью из шести вершин противоположного цвета. [6] Граф Леви двойной шестерки может быть получен путем замены каждого ребра графа короны на путь из двух ребер. Граф пересечения всего набора из 27 линий на кубической поверхности является дополнением графа Шлефли . [7]

Примечания

  1. ^ Шлефли (1858), стр. 115.
  2. ^ Гильберт и Кон-Фоссен (1952), с. 166.
  3. ^ Гильберт и Кон-Фоссен (1952), стр. 164–166.
  4. ^ Гильберт и Кон-Фоссен (1952), рис. 181, стр. 165; см. стр. 166 для объяснения.
  5. ^ Стоукс и Брас-Аморос (2014).
  6. ^ Бенедетти, Ди Марка и Варбаро (2018), Пример D.
  7. ^ Брауэр, Коэн и Ноймайер (1989), Пример (iii), с. 30.

Ссылки

  • Бенедетти, Бруно; Ди Марка, Микела; Варбаро, Маттео (2018), «Регулярность конфигураций линий», Журнал чистой и прикладной алгебры , 222 (9): 2596–2608 , arXiv : 1608.02134 , doi : 10.1016/j.jpaa.2017.10.009, MR  3783008
  • Брауэр, А. Э.; Коэн, А. М.; Ноймайер, А. (1989), «Глава 1: Специальные регулярные графы», Дистанционно-регулярные графы , Результаты по математике и смежным областям, т. 18, Берлин: Springer-Verlag, стр.  1– 42, doi :10.1007/978-3-642-74341-2_1, ISBN 3-540-50619-5, МР  1002568
  • Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), «III.25: Двойная шестерка Шлефли», Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, стр.  164–170 , ISBN 978-0-8284-1087-8
  • Шлефли, Людвиг (1858), Кейли, Артур (ред.), «Попытка определить двадцать семь линий на поверхности третьего порядка и вывести такие поверхности в видах, ссылаясь на реальность линий на поверхности», Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics , 2 : 55–65 , 110–120
  • Stokes, Klara; Bras-Amorós, Maria (2014), «Patterns in semigroups associated with combinatorial configurations», in Izquierdo, Milagros; Broughton, S. Allen; Costa, Antonio F.; Rodríguez, Rubí E. (ред.), Riemann and Klein Surfaces, Automorphisms, Symmetries and Moduli Spaces: Proceedings of the Conference in Honor of Emilio Bujalance on Riemann and Klein Surfaces, Symmetries and Moduli Spaces, passed in Linköping University, Linköping, June 24–28, 2013 , Contemporary Mathematics, vol. 629, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр.  323–333 , doi :10.1090/conm/629/12583, MR  3289650
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schläfli_double_six&oldid=1170008544"