Теорема Шильдера

В математике теорема Шильдера является обобщением метода Лапласа с интегралов на функциональное интегрирование Винера. Теорема используется в теории больших уклонений случайных процессов . Грубо говоря , из теоремы Шильдера можно получить оценку вероятности того, что (уменьшенная) траектория выборки броуновского движения будет сильно отклоняться от средней траектории (которая постоянна со значением 0). Это утверждение уточняется с помощью функций скорости . Теорема Шильдера обобщается теоремой Фрейдлина–Вентцелля для диффузий Ито .${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Пусть C ₀  =  C ₀ ([0,  T ];  R ^d ) — банахово пространство непрерывных функций , такое что , снабженное супремум-нормой ||⋅|| _∞ и — подпространство абсолютно непрерывных функций, производная которых лежит в (так называемое пространство Камерона-Мартина ). Определим функцию скорости ${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow \mathbf {R} ^{d}}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle C_{0}^{\ast}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\|{\dot {\omega }}(t)\|^{2}\,\mathrm {d} t}$

и пусть будут двумя заданными функциями, такими, что («действие») имеет единственный минимум .${\displaystyle C_{0}^{\ast}}$${\displaystyle F:C_{0}\to \mathbb {R} ,G:C_{0}\to \mathbb {C} }$${\displaystyle S:=I+F}$${\displaystyle \Омега \in C_{0}^{\ast }}$

Тогда при некоторых предположениях о дифференцируемости и росте , которые подробно описаны в работе Шильдера 1966 года, можно иметь ${\displaystyle F,G}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {\mathbb {E} \left[\exp \left(-\lambda F(\lambda ^{-1/2}\omega )\right)G(\lambda ^{-1/2}\omega )\right]}{\exp \left(-\lambda S(\Omega )\right)}}=G(\Omega )\mathbb {E} \left[\exp \left(-{\frac {1}{2}}\langle \omega ,D(\Omega )\omega \rangle \right)\right]}$

где обозначает математическое ожидание относительно меры Винера на , а является гессианом в минимуме ; подразумевается в смысле внутреннего произведения.${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle C_{0}}$${\displaystyle D(\Омега)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \Омега}$${\displaystyle \langle \omega, D (\omega) \omega \rangle}$${\displaystyle L^{2}([0,T])}$

Пусть B — стандартное броуновское движение в d - мерном евклидовом пространстве R ^{d ,} начинающееся в начале координат, 0 ∈  R ^d ; пусть W обозначает закон движения B , т.е. классическую меру Винера . Для ε  > 0 пусть W _ε обозначает закон масштабированного процесса √ ε B . Тогда на банаховом пространстве C ₀  =  C ₀ ([0,  T ];  R ^d ) непрерывных функций, таких что , снабженном супремум-нормой ||⋅|| _∞ , вероятностные меры W _ε удовлетворяют принципу больших уклонений с хорошей функцией скорости I  :  C ₀  →  R  ∪ {+∞}, заданной как${\displaystyle f:[0,T]\longrightarrow \mathbf {R} ^{d}}$${\displaystyle f(0)=0}$

${\displaystyle I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t}$

если ω абсолютно непрерывна , и I ( ω ) = +∞ в противном случае. Другими словами, для каждого открытого множества G  ⊆  C ₀ и каждого замкнутого множества F  ⊆  C ₀ ,

${\displaystyle \limsup _ {\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _ {\varepsilon }(F)\leq -\inf _ {\omega \in F}I(\omega)}$

и

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \downarrow 0}\varepsilon \log \mathbf {W} _{\varepsilon }(G)\geq -\inf _{\omega \in G}I(\omega ).}$

Приняв ε  = 1/ c ² , можно использовать теорему Шильдера для получения оценок вероятности того, что стандартное броуновское движение B отклонится дальше, чем на c от своей начальной точки за интервал времени [0,  T ], т.е. вероятности

${\displaystyle \mathbf {W} (C_{0}\smallsetminus \mathbf {B} _{c}(0;\|\cdot \|_{\infty }))\equiv \mathbf {P} {\big [}\|B\|_{\infty }>c{\big ]},}$

при стремлении c к бесконечности. Здесь B _c (0; ||⋅|| _∞ ) обозначает открытый шар радиуса c вокруг нулевой функции в C ₀ , взятый относительно супремум-нормы . Сначала отметим, что

${\displaystyle \|B\|_{\infty }>c\iff {\sqrt {\varepsilon }}B\in A:=\left\{\omega \in C_{0}\mid |\omega (t)|>1{\text{ for some }}t\in [0,T]\right\}.}$

Поскольку функция скорости непрерывна на A , теорема Шильдера дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{c\to \infty }{\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \left(\mathbf {P} \left[{\sqrt {\varepsilon }}B\in A\right]\right)\\[6pt]&=-\inf \left\{\left.{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}(t)|^{2}\,\mathrm {d} t\,\right|\,\omega \in A\right\}\\[6pt]&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {1}{T^{2}}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&=-{\frac {1}{2T}},\end{aligned}}}$

используя тот факт, что инфимум по путям в коллекции A достигается при ω ( t ) = ⁠т/Т⁠ . Этот результат можно эвристически интерпретировать так, что для больших c и/или больших T

${\displaystyle {\frac {\log \left(\mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\right)}{c^{2}}}\approx -{\frac {1}{2T}}\qquad {\text{or}}\qquad \mathbf {P} \left[\|B\|_{\infty }>c\right]\approx \exp \left(-{\frac {c^{2}}{2T}}\right).}$

На самом деле, указанную выше вероятность можно оценить точнее: для B — ^{стандартного} броуновского движения в Rn и любых T , c и ε > 0 имеем:

${\displaystyle \mathbf {P} \left[\sup _{0\leq t\leq T}\left|{\sqrt {\varepsilon }}B_{t}\right|\geq c\right]\leq 4n\exp \left(-{\frac {c^{2}}{2nT\varepsilon }}\right).}$

• Дембо, Амир; Зейтуни, Офер (1998). Методы больших отклонений и их применение . Applications of Mathematics (Нью-Йорк) 38 (Второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2. МР  1619036.(См. теорему 5.2)