Аксиомы масштабного пространства
Масштаб пространства
Аксиомы масштабного пространства
Масштабная реализация пространства
Обнаружение особенностей
Обнаружение краев
Обнаружение пятен
Обнаружение угла
Обнаружение хребта
Обнаружение точек интереса
Выбор масштаба
Аффинная адаптация формы
Сегментация масштабно-пространственного масштабирования

В обработке изображений и компьютерном зрении фреймворк масштабного пространства может использоваться для представления изображения как семейства постепенно сглаженных изображений. Этот фреймворк является очень общим, и существует множество представлений масштабного пространства . Типичный подход к выбору конкретного типа представления масштабного пространства заключается в установлении набора аксиом масштабного пространства , описывающих основные свойства желаемого представления масштабного пространства и часто выбираемых таким образом, чтобы сделать представление полезным в практических приложениях. После установления аксиомы сужают возможные представления масштабного пространства до меньшего класса, обычно с несколькими свободными параметрами.

Набор стандартных аксиом масштабного пространства, обсуждаемых ниже, приводит к линейному гауссову масштабному пространству, которое является наиболее распространенным типом масштабного пространства, используемого в обработке изображений и компьютерном зрении.

Аксиомы масштабного пространства для линейного представления масштабного пространства

Представление сигнала в линейном масштабном пространстве , полученное путем сглаживания с помощью гауссовского ядра, удовлетворяет ряду свойств « аксиом масштабного пространства» , которые делают его особой формой многомасштабного представления: Л ( х , у , т ) = ( Т т ф ) ( х , у ) = г ( х , у , т ) ∗ ф ( х , у ) {\displaystyle L(x,y,t)=(T_{t}f)(x,y)=g(x,y,t)*f(x,y)} ф ( х , у ) {\displaystyle f(x,y)} г ( х , у , т ) {\displaystyle g(x,y,t)}

линейность
Т т ( а ф + б час ) = а Т т ф + б Т т час {\displaystyle T_{t}(af+bh)=aT_{t}f+bT_{t}h}
где и являются сигналами, а и являются константами, ф {\displaystyle f} час {\displaystyle ч} а {\displaystyle а} б {\displaystyle б}
инвариантность сдвига
Т т С ( Δ х , Δ у ) ф = С ( Δ х , Δ у ) Т т ф {\displaystyle T_{t}S_{(\Delta x,\Delta _{y})}f=S_{(\Delta x,\Delta _{y})}T_{t}f}
где обозначает оператор сдвига (трансляции) С ( Δ х , Δ у ) {\displaystyle S_{(\Delta x,\Delta _{y})}} ( С ( Δ х , Δ у ) ф ) ( х , у ) = ф ( х − Δ х , у − Δ у ) {\displaystyle (S_{(\Delta x,\Delta _{y})}f)(x,y)=f(x-\Delta x,y-\Delta y)}
структура полугруппы
г ( х , у , т 1 ) ∗ г ( х , у , т 2 ) = г ( х , у , т 1 + т 2 ) {\displaystyle g(x,y,t_{1})*g(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{1}+t_{2})}
с соответствующим свойством каскадного сглаживания
Л ( х , у , т 2 ) = г ( х , у , т 2 − т 1 ) ∗ Л ( х , у , т 1 ) {\displaystyle L(x,y,t_{2})=g(x,y,t_{2}-t_{1})*L(x,y,t_{1})}
существование бесконечно малого генератора А {\displaystyle А}
∂ т Л ( х , у , т ) = ( А Л ) ( х , у , т ) {\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)=(AL)(x,y,t)}
не создание локальных экстремумов (переходов через ноль) в одном измерении,
отсутствие усиления локальных экстремумов в любом количестве измерений
∂ т Л ( х , у , т ) ≤ 0 {\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)\leq 0} в пространственных максимумах и в пространственных минимумах, ∂ т Л ( х , у , т ) ≥ 0 {\displaystyle \partial _{t}L(x,y,t)\geq 0}
вращательная симметрия
г ( х , у , т ) = час ( х 2 + у 2 , т ) {\displaystyle g(x,y,t)=h(x^{2}+y^{2},t)} для некоторой функции , час {\displaystyle ч}
масштабная инвариантность
г ^ ( ω х , ω у , т ) = час ^ ( ω х φ ( т ) , ω х φ ( т ) ) {\displaystyle {\hat {g}}(\omega _{x},\omega _{y},t)={\hat {h}}({\frac {\omega _{x}}{\varphi (t)}},{\frac {\omega _{x}}{\varphi (t)}})}
для некоторых функций и где обозначает преобразование Фурье , φ {\displaystyle \varphi} час ^ {\displaystyle {\шляпа {h}}} г ^ {\displaystyle {\шляпа {г}}} г {\displaystyle г}
позитивность
г ( х , у , т ) ≥ 0 {\displaystyle g(x,y,t)\geq 0} ,
нормализация
∫ х = − ∞ ∞ ∫ у = − ∞ ∞ г ( х , у , т ) г х г у = 1 {\displaystyle \int _{x=-\infty}^{\infty}\int _{y=-\infty}^{\infty}g(x,y,t)\,dx\,dy=1} .

Фактически, можно показать, что гауссово ядро ​​является уникальным выбором , учитывая несколько различных комбинаций подмножеств этих аксиом масштабного пространства: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7 ] [ 8] [9] [10] [11] большинство аксиом (линейность, инвариантность к сдвигу, полугруппа) соответствуют масштабированию, являющемуся полугруппой инвариантных к сдвигу линейных операторов, что удовлетворяется рядом семейств интегральных преобразований , в то время как «несоздание локальных экстремумов» [4] для одномерных сигналов или «неусиление локальных экстремумов» [4] [7] [10] для многомерных сигналов являются важнейшими аксиомами, которые связывают масштабные пространства со сглаживанием (формально, параболическими уравнениями в частных производных ) и, следовательно, выбирают гауссово.

Гауссово ядро ​​также разделимо в декартовых координатах, т.е. . Разделимость, однако, не считается аксиомой масштабного пространства, поскольку это свойство, зависящее от координат и связанное с вопросами реализации. Кроме того, требование разделимости в сочетании с вращательной симметрией per se фиксирует сглаживающее ядро ​​как гауссово. г ( х , у , т ) = г ( х , т ) г ( у , т ) {\displaystyle g(x,y,t)=g(x,t)\,g(y,t)}

Существует обобщение теории гауссовского масштабного пространства на более общие аффинные и пространственно-временные масштабные пространства. [10] [11] В дополнение к изменчивости по масштабу, для обработки которой была разработана исходная теория масштабного пространства, эта обобщенная теория масштабного пространства также включает в себя другие типы изменчивости, включая деформации изображения, вызванные изменениями просмотра, аппроксимированные локальными аффинными преобразованиями , и относительные движения между объектами в мире и наблюдателем, аппроксимированные локальными галилеевыми преобразованиями . В этой теории вращательная симметрия не навязывается как необходимая аксиома масштабного пространства и вместо этого заменяется требованиями аффинной и/или галилеевой ковариации. Обобщенная теория масштабного пространства приводит к предсказаниям о профилях рецептивного поля в хорошем качественном согласии с профилями рецептивного поля, измеренными с помощью клеточных записей в биологическом зрении. [12] [13] [14]

В литературе по компьютерному зрению , обработке изображений и обработке сигналов есть много других многомасштабных подходов, использующих вейвлеты и множество других ядер, которые не используют или не требуют тех же требований, что и описания масштабного пространства ; см. статью о связанных многомасштабных подходах . Также была проведена работа над концепциями дискретного масштабного пространства, которые переносят свойства масштабного пространства в дискретную область; см. статью о реализации масштабного пространства для примеров и ссылок.

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Koenderink, Jan J. (август 1984). «Структура изображений». Biological Cybernetics . 50 (5): 363–370. doi :10.1007/bf00336961. PMID  6477978. S2CID  206775432.
  2. ^ Бабо, Жан; Виткин, Эндрю П.; Боден, Мишель; Дуда, Ричард О. (1986). «Уникальность гауссовского ядра для фильтрации в масштабном пространстве». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 8 (1): 26–33. doi :10.1109/TPAMI.1986.4767749. PMID  21869320. S2CID  18295906.
  3. ^ Юйл, Алан Л.; Поджио, Томазо А. (1986). «Теоремы масштабирования для переходов через нуль». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 8 (1): 15–25. doi : 10.1109/TPAMI.1986.4767748. hdl : 1721.1/5655 . PMID  21869319. S2CID  14815630.
  4. ^ abc Lindeberg, T. (1990). «Масштабное пространство для дискретных сигналов». Труды IEEE по анализу образов и машинному интеллекту . 12 (3): 234–254. doi :10.1109/34.49051.
  5. ^ Линдеберг, Тони, Теория масштабного пространства в компьютерном зрении, Kluwer, 1994,
  6. ^ Пауэлс, Э. Дж.; Ван Гул, Л. Дж.; Фидделаерс, П.; Мунс, Т. (1995). «Расширенный класс масштабно-инвариантных и рекурсивных масштабно-пространственных фильтров». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 17 (7): 691–701. doi :10.1109/34.391411.
  7. ^ ab Lindeberg, Tony (май 1996). «Об аксиоматических основах линейного масштабного пространства: объединение структуры полугруппы с причинностью против масштабной инвариантности». В Sporring, J.; et al. (ред.). Гауссовская теория масштабного пространства: Proc. PhD School on Scale-Space Theory. Копенгаген, Дания: Kluwer Academic Publishers. стр. 75–98. urn : nbn:se:kth:diva-40221 .
  8. ^ Флорак, Люк, Структура изображения, Kluwer Academic Publishers, 1997.
  9. ^ Вайкерт, Иоахим; Ишикава, Сейджи; Имия, Ацуши (1999). «Линейное масштабное пространство впервые было предложено в Японии». Журнал математического изображения и зрения . 10 (3): 237–252. doi :10.1023/A:1008344623873. S2CID  17835046.
  10. ^ abc Линдеберг, Тони (2011). «Обобщенная аксиоматика гауссова масштабного пространства, включающая линейное масштабное пространство, аффинное масштабное пространство и пространственно-временное масштабное пространство». Журнал математической визуализации и зрения . 40 : 36–81. doi :10.1007/s10851-010-0242-2. S2CID  950099.
  11. ^ ab Lindeberg, Tony (2013). Обобщенная аксиоматическая теория масштабного пространства. Advances in Imaging and Electron Physics. Vol. 178. pp. 1–96. doi :10.1016/B978-0-12-407701-0.00001-7. ISBN 9780124077010.
  12. ^ Линдеберг, Тони (2013). «Вычислительная теория визуальных рецептивных полей». Биологическая кибернетика . 107 (6): 589–635. doi :10.1007/s00422-013-0569-z. PMC 3840297. PMID 24197240  . 
  13. ^ Линдеберг, Тони (2013). «Инвариантность зрительных операций на уровне рецептивных полей». PLOS ONE . 8 (7): e66990. arXiv : 1210.0754 . Bibcode : 2013PLoSO...866990L. doi : 10.1371/journal.pone.0066990 . PMC 3716821. PMID  23894283 . 
  14. ^ Линдеберг, Тони (2021). «Нормативная теория визуальных рецептивных полей». Heliyon . 7 (1): e05897. Bibcode :2021Heliy...705897L. doi : 10.1016/j.heliyon.2021.e05897 . PMC 7820928 . PMID  33521348. 
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Аксиомы_масштабного_пространства&oldid=1220696406"