Векторная проекция

Вводный раздел этой статьи может быть слишком длинным . Пожалуйста, ознакомьтесь с рекомендациями по длине и помогите перенести детали в текст статьи. ( Сентябрь 2024 г. )

Векторная проекция (также известная как векторная компонента или векторное разрешение ) вектора a на (или на) ненулевой вектор b — это ортогональная проекция a на прямую линию, параллельную b . Проекция a на b часто записывается как или a _{∥ b} .${\displaystyle \operatorname {proj} _ {\mathbf {b} }\mathbf {a} }$

Векторная составляющая или векторная резольвента перпендикуляра к b , иногда также называемая отклонением вектора a от b ( обозначается или a _{⊥ b} ), ^[1] является ортогональной проекцией a на плоскость (или, в общем случае, гиперплоскость ), которая ортогональна b . Поскольку оба и являются векторами, а их сумма равна a , отклонение a от b определяется по формуле: ${\displaystyle \operatorname {oproj} _ {\mathbf {b} }\mathbf {a} }$${\displaystyle \operatorname {proj} _ {\mathbf {b} }\mathbf {a} }$${\displaystyle \operatorname {oproj} _ {\mathbf {b} }\mathbf {a} }$$${\displaystyle \operatorname {oproj} _ {\mathbf {b} }\mathbf {a} =\mathbf {a} -\operatorname {proj} _ {\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$$

Для упрощения обозначений в данной статье определяются и Таким образом, вектор параллелен вектору ортогонален и${\displaystyle \mathbf {a} _{1}:=\operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}:=\operatorname {oproj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} .}$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {b} ,}$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {b} ,}$${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} _{1}+\mathbf {a} _{2}.}$

Проекцию a на b можно разложить на направление и скалярную величину, записав ее как , где — скаляр, называемый скалярной проекцией a на b , а b̂ — единичный вектор в направлении b . Скалярная проекция определяется как ^[2] где оператор ⋅ обозначает скалярное произведение , ‖ a ‖ — длина a , а θ — угол между a и b . Скалярная проекция по абсолютной величине равна длине векторной проекции со знаком минус, если направление проекции противоположно направлению b , то есть если угол между векторами больше 90 градусов.${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} }$${\displaystyle a_{1}}$$${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} }$$

Проекцию вектора можно рассчитать с помощью скалярного произведения и следующим образом:${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {b} }$$${\displaystyle \operatorname {proj} _{\mathbf {b} }\mathbf {a} =\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

В данной статье принято, что векторы обозначаются жирным шрифтом (например, a ₁ ), а скаляры — обычным шрифтом (например, a ₁ ).

Скалярное произведение векторов a и b записывается как , норма a записывается как ‖ a ‖, угол между a и b обозначается θ .${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$

Скалярная проекция a на b — это скаляр, равный , где θ — угол между a и b .$${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ,}$$

Скалярную проекцию можно использовать в качестве масштабного коэффициента для вычисления соответствующей векторной проекции.

Векторная проекция a на b — это вектор, величина которого является скалярной проекцией a на b с тем же направлением, что и b . А именно, она определяется как, где — соответствующая скалярная проекция, как определено выше, а — единичный вектор с тем же направлением, что и b :$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} =(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta )\mathbf {\hat {b}} }$$${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$$${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}}$$

По определению, векторное отклонение a от b равно:$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Следовательно,$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\left(\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta \right)\mathbf {\hat {b}} }$$

Если θ неизвестно, косинус θ можно вычислить через a и b , используя следующее свойство скалярного произведения a ⋅ b:$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta }$$

В силу вышеупомянутого свойства скалярного произведения определение скалярной проекции становится следующим: ^[2]$${\displaystyle a_{1}=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

В двух измерениях это становится$${\displaystyle a_{1}={\frac {\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{x}+\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Аналогично, определение векторной проекции a на b становится: ^[2] что эквивалентно либо [ ^3]$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a_{1}\mathbf {\hat {b}} ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}{\frac {\mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}},}$$$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}=\left(\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} \right)\mathbf {\hat {b}} ,}$$$${\displaystyle \mathbf {a} _{1}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}}}{\mathbf {b} }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }~.}$$

В двух измерениях скалярное отклонение эквивалентно проекции a на , которая повернута на 90° влево. Следовательно,${\displaystyle \mathbf {b} ^{\perp }={\begin{pmatrix}-\mathbf {b} _{y}&\mathbf {b} _{x}\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}\mathbf {b} _{x}&\mathbf {b} _{y}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle a_{2}=\left\|\mathbf {a} \right\|\sin \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} _{y}\mathbf {b} _{x}-\mathbf {a} _{x}\mathbf {b} _{y}}{\left\|\mathbf {b} \right\|}}.}$$

Такое скалярное произведение называется «перп-скалярным произведением». ^[4]

По определению,$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -\mathbf {a} _{1}}$$

Следовательно,$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}=\mathbf {a} -{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}{\mathbf {b} }.}$$

Используя скалярное отклонение с использованием скалярного произведения perp, это дает

$${\displaystyle \mathbf {a} _{2}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{\perp }}{\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}\mathbf {b} ^{\perp }}$$

Скалярная проекция a на b — это скаляр, который имеет отрицательный знак, если 90 градусов < θ ≤ 180 градусов . Он совпадает с длиной ‖ c ‖ векторной проекции, если угол меньше 90°. Точнее:

• a ₁ = ‖ a ₁ ‖ если 0° ≤ θ ≤ 90° ,
• a ₁ = −‖ a ₁ ‖ если 90° < θ ≤ 180° .

Проекция вектора a на b — это вектор a ₁ , который либо равен нулю, либо параллелен b . Точнее:

• а ₁ = 0, если θ = 90° ,
• a ₁ и b имеют одинаковое направление, если 0° ≤ θ < 90° ,
• a ₁ и b имеют противоположные направления, если 90° < θ ≤ 180° .

Вектор отклонения a от b — это вектор a ₂ , который либо нулевой, либо ортогонален b . Точнее:

• a ₂ = 0, если θ = 0° или θ = 180° ,
• a ₂ ортогонален b , если 0 < θ < 180° ,

Ортогональная проекция может быть представлена ​​проекционной матрицей . Чтобы спроецировать вектор на единичный вектор a = ( ax , _y , _z ) , его нужно умножить на эту проекционную матрицу _:$${\displaystyle P_{\mathbf {a} }=\mathbf {a} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{x}^{2}&a_{x}a_{y}&a_{x}a_{z}\\a_{x}a_{y}&a_{y}^{2}&a_{y}a_{z}\\a_{x}a_{z}&a_{y}a_{z}&a_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}}$$

Векторная проекция является важной операцией в ортонормализации Грама–Шмидта базисов векторного пространства . Она также используется в теореме о разделяющей оси для определения пересечения двух выпуклых фигур.

Поскольку понятия длины вектора и угла между векторами можно обобщить на любое n -мерное пространство скалярного произведения , это также справедливо для понятий ортогональной проекции вектора, проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого.

В некоторых случаях скалярное произведение совпадает со скалярным произведением. Всякий раз, когда они не совпадают, скалярное произведение используется вместо скалярного произведения в формальных определениях проекции и отклонения. Для трехмерного пространства скалярного произведения понятия проекции вектора на другой и отклонения вектора от другого можно обобщить до понятий проекции вектора на плоскость и отклонения вектора от плоскости. ^[5] Проекция вектора на плоскость — это его ортогональная проекция на эту плоскость. Отклонение вектора от плоскости — это его ортогональная проекция на прямую, которая ортогональна этой плоскости. Оба являются векторами. Первый параллелен плоскости, второй ортогонален.

Для заданного вектора и плоскости сумма проекции и отбрасывания равна исходному вектору. Аналогично, для пространств внутреннего произведения с более чем тремя измерениями понятия проекции на вектор и отбрасывания от вектора можно обобщить до понятий проекции на гиперплоскость и отбрасывания от гиперплоскости . В геометрической алгебре их можно дополнительно обобщить до понятий проекции и отбрасывания общего мультивектора на/из любой обратимой k -лопасти.

• Скалярная проекция
• Векторная нотация

• Проекция вектора на плоскость