Формула Сантало

В дифференциальной геометрии формула Сантало описывает, как интегрировать функцию на единичном расслоении сфер Риманова многообразия , сначала интегрируя вдоль каждой геодезической отдельно, а затем по пространству всех геодезических. Это стандартный инструмент в интегральной геометрии , который применяется в изопериметрических [1] и результатах жесткости. [2] Формула названа в честь Луиса Сантало , который первым доказал этот результат в 1952 году . [3] [4]

Формулировка

Пусть — компактное, ориентированное риманово многообразие с границей. Тогда для функции формула Сантало принимает вид ( М , ∂ М , г ) {\displaystyle (M,\partial M,g)} ф : С М → С {\displaystyle f:SM\rightarrow \mathbb {C} }

∫ С М ф ( х , в ) г μ ( х , в ) = ∫ ∂ + С М [ ∫ 0 τ ( х , в ) ф ( φ т ( х , в ) ) г т ] ⟨ в , ν ( х ) ⟩ г σ ( х , в ) , {\displaystyle \int _{SM}f(x,v)\,d\mu (x,v)=\int _{\partial _{+}SM}\left[\int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt\right]\langle v,\nu (x)\rangle \,d\sigma (x,v),}

где

  • ( φ т ) т {\displaystyle (\varphi _{t})_{t}} - геодезический поток , а - время выхода геодезической с начальными условиями , τ ( х , в ) = Как дела { т ≥ 0 : ∀ с ∈ [ 0 , т ] :   φ с ( х , в ) ∈ С М } {\displaystyle \tau (x,v)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in [0,t]:~\varphi _{s}(x,v)\in SM\}} ( х , в ) ∈ С М {\displaystyle (x,v)\in SM}
  • μ {\displaystyle \мю} и являются римановыми формами объема относительно метрики Сасаки на и соответственно ( также называется мерой Лиувилля ), σ {\displaystyle \сигма} С М {\displaystyle СМ} ∂ С М {\displaystyle \частичный SM} μ {\displaystyle \мю}
  • ν {\displaystyle \nu} является направленной внутрь единицей, нормальной к и границе притока , которую следует рассматривать как параметризацию пространства геодезических. ∂ М {\displaystyle \partial M} ∂ + С М := { ( х , в ) ∈ С М : х ∈ ∂ М , ⟨ в , ν ( х ) ⟩ ≥ 0 } {\displaystyle \partial _{+}SM:=\{(x,v)\in SM:x\in \partial M,\langle v,\nu (x)\rangle \geq 0\}}

Действительность

При предположениях, что

  1. М {\displaystyle М} не является захватным (т.е. для всех ) и τ ( х , в ) < ∞ {\displaystyle \tau (x,v)<\infty } ( х , в ) ∈ С М {\displaystyle (x,v)\in SM}
  2. ∂ М {\displaystyle \partial M} строго выпукла ( т.е. вторая фундаментальная форма положительно определена для каждого ), я я ∂ М ( х ) {\displaystyle II_{\partial M}(x)} х ∈ ∂ М {\displaystyle x\in \partial M}

Формула Сантало справедлива для всех . В этом случае она эквивалентна следующему тождеству мер: ф ∈ С ∞ ( М ) {\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}

Ф ∗ г μ ( х , в , т ) = ⟨ ν ( х ) , х ⟩ г σ ( х , в ) г т , {\displaystyle \Phi ^{*}d\mu (x,v,t)=\langle \nu (x),x\rangle d\sigma (x,v)dt,}

где и определяется как . В частности, это означает, что геодезическое рентгеновское преобразование продолжается до ограниченного линейного отображения , где и, таким образом, имеет место следующая, -версия формулы Сантало: Ω = { ( х , в , т ) : ( х , в ) ∈ ∂ + С М , т ∈ ( 0 , τ ( х , в ) ) } {\displaystyle \Omega =\{(x,v,t):(x,v)\in \partial _{+}SM,t\in (0,\tau (x,v))\}} Ф : Ω → С М {\displaystyle \Phi:\Omega \rightarrow SM} Ф ( х , в , т ) = φ т ( х , в ) {\ displaystyle \ Phi (x, v, t) = \ varphi _ {t} (x, v)} я ф ( х , в ) = ∫ 0 τ ( х , в ) ф ( φ т ( х , в ) ) г т {\displaystyle Если(x,v)=\int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt} я : Л 1 ( С М , μ ) → Л 1 ( ∂ + С М , σ ν ) {\displaystyle I:L^{1}(SM,\mu )\rightarrow L^{1}(\partial _{+}SM,\sigma _{\nu })} г σ ν ( х , в ) = ⟨ в , ν ( х ) ⟩ г σ ( х , в ) {\displaystyle d\sigma _ {\nu }(x,v)=\langle v,\nu (x)\rangle \,d\sigma (x,v)} Л 1 {\displaystyle L^{1}}

∫ С М ф г μ = ∫ ∂ + С М я ф   г σ ν для всех  ф ∈ Л 1 ( С М , μ ) . {\displaystyle \int _{SM}f\,d\mu =\int _{\partial _{+}SM}Если~d\sigma _{\nu }\quad {\text{для всех }}f\in L^{1}(SM,\mu ).}

Если условие не-захвата или выпуклости выше не выполняется, то существует множество положительной меры, такое, что геодезические, выходящие из, либо не достигают границы, либо достигают ее нетрансверсально. В этом случае формула Сантало остается верной только для функций с носителем, не пересекающимся с этим исключительным множеством . Э ⊂ С М {\displaystyle E\subset SM} Э {\displaystyle E} М {\displaystyle М} Э {\displaystyle E}

Доказательство

Следующее доказательство взято из [ [5] Лемма 3.3], адаптированное к (более простой) ситуации, когда условия 1) и 2) выше верны. Формула Сантало вытекает из следующих двух ингредиентов, при этом следует отметить, что имеет меру ноль. ∂ 0 С М = { ( х , в ) : ⟨ ν ( х ) , в ⟩ = 0 } {\displaystyle \partial _{0}SM=\{(x,v):\langle \nu (x),v\rangle =0\}}

  • Формула интегрирования по частям для геодезического векторного поля : Х {\displaystyle X}
∫ С М Х ты   г μ = − ∫ ∂ + С М ты   г σ ν для всех  ты ∈ С ∞ ( С М ) {\displaystyle \int _{SM}Xu~d\mu =-\int _{\partial _{+}SM}u~d\sigma _{\nu }\quad {\text{для всех }}u\in C^{\infty }(SM)}
  • Построение резольвенты для уравнения переноса : Х ты = − ф {\displaystyle Xu=-f}
∃ Р : С с ∞ ( С М ∖ ∂ 0 С М ) → С ∞ ( С М ) : Х Р ф = − ф  и  Р ф | ∂ + С М = я ф для всех  ф ∈ С с ∞ ( С М ∖ ∂ 0 С М ) {\displaystyle \exists R:C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)\rightarrow C^{\infty }(SM):XRf=-f{\text{ и }}Rf\vert _{\partial _{+}SM}=If\quad {\text{для всех }}f\in C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)}

Для формулы интегрирования по частям напомним, что оставляет меру Лиувилля инвариантной и, следовательно , расхождение относительно метрики Сасаки . Результат, таким образом, следует из теоремы о расхождении и наблюдения, что , где — единичная нормаль, направленная внутрь к . Резольвента явно задается как , а свойство отображения следует из гладкости , что является следствием отсутствия захвата и предположения о выпуклости. Х {\displaystyle X} μ {\displaystyle \мю} Х ты = див Г ⁡ ( ты Х ) {\displaystyle Xu=\operatorname {div} _{G}(uX)} Г {\displaystyle G} ⟨ Х ( х , в ) , Н ( х , в ) ⟩ Г = ⟨ в , ν ( х ) ⟩ г {\ displaystyle \ langle X (x, v), N (x, v) \ rangle _ {G} = \ langle v, \ nu (x) \ rangle _ {g}} Н {\displaystyle N} ∂ С М {\displaystyle \частичный SM} Р ф ( х , в ) = ∫ 0 τ ( х , в ) ф ( φ т ( х , в ) ) г т {\displaystyle Rf(x,v)=\int _{0}^{\tau (x,v)}f(\varphi _{t}(x,v))\,dt} С с ∞ ( С М ∖ ∂ 0 С М ) → С ∞ ( С М ) {\displaystyle C_{c}^{\infty }(SM\smallsetminus \partial _{0}SM)\rightarrow C^{\infty }(SM)} τ : С М ∖ ∂ 0 С М → [ 0 , ∞ ) {\displaystyle \tau :SM\smallsetminus \partial _{0}SM\rightarrow [0,\infty )}

Ссылки

  1. ^ Крок, Кристофер Б. «Точное четырехмерное изопериметрическое неравенство». Комментарии Mathematici Helvetici 59.1 (1984): 187–192.
  2. ^ Ильмавирта, Йонас и Франсуа Монар. «4 Интегральная геометрия на многообразиях с границей и приложения». Преобразование Радона: первые 100 лет и далее 22 (2019): 43.
  3. ^ Сантало, Луис Антонио. Мера множеств геодезических в римановом пространстве и приложения к интегральным формулам в эллиптических и гиперболических пространствах. 1952
  4. ^ Сантало, Луис А. Интегральная геометрия и геометрическая вероятность. Cambridge University Press, 2004.
  5. ^ Гийармоу, Колин, Марко Маццукелли и Лео Цзоу. «Граница и жесткость линзы для невыпуклых многообразий». Американский журнал математики 143 (2021), № 2, 533-575.
  • Айзек Шавел (1995). "5.2 Формула Сантало". Риманова геометрия: Современное введение. Cambridge Tracts in Mathematics. Том 108. Cambridge University Press. ISBN 0-521-48578-9.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Santaló%27s_formula&oldid=1220162925"