Теорема Руссо–Дайя

В математике теорема Руссо –Дайя является результатом в области функционального анализа . Она утверждает, что в унитальной C*-алгебре замыкание выпуклой оболочки унитарных элементов является замкнутым единичным шаром . ^{[1] : 44} Теорема была опубликована Б. Руссо и Х. А. Дайем в 1966 году. ^[2]

Результаты, подобные теореме Руссо–Дай, справедливы и в более общих контекстах. Например, в унитальной *-банаховой алгебре замкнутый единичный шар содержится в замкнутой выпуклой оболочке унитарных элементов . ^{[1] : 73}

Более точный результат верен для C*-алгебры всех ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве : если T — такой оператор и || T || < 1 − 2/ n для некоторого целого числа n > 2, то T — среднее значение n унитарных операторов . ^{[3] : 98}

Этот пример принадлежит Руссо и Даю, ^[2] Следствие 1: Если U ( A ) обозначает унитарные элементы C *-алгебры A , то норма линейного отображения f из A в нормированное линейное пространство B равна

${\displaystyle \sup _{U\in U(A)}||f(U)||.}$

Другими словами, норму оператора можно вычислить, используя только унитарные элементы алгебры.

• Особенно простое доказательство теоремы дано в: Gardner, LT (1984). "Элементарное доказательство теоремы Руссо–Дай". Труды Американского математического общества . 90 (1): 171. doi :10.2307/2044692. JSTOR  2044692.