неравенство Рашбрука

В статистической механике неравенство Рашбрука связывает критические показатели магнитной системы , которая демонстрирует фазовый переход первого рода в термодинамическом пределе для ненулевой температуры T.

Поскольку свободная энергия Гельмгольца обширна , нормализация свободной энергии на узел задается как

ф = к Т лим Н 1 Н бревно З Н {\displaystyle f=-kT\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\log Z_{N}}

Намагниченность M на узел в термодинамическом пределе в зависимости от внешнего магнитного поля H и температуры T определяется выражением

М ( Т , ЧАС )   = г е ф   лим Н 1 Н ( я σ я ) {\displaystyle M(T,H)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i}\sigma _{i}\right)}

где — спин на i-м месте, а магнитная восприимчивость и удельная теплоемкость при постоянной температуре и поле определяются как, соответственно, σ я {\displaystyle \сигма _{я}}

χ Т ( Т , ЧАС ) = ( М ЧАС ) Т {\displaystyle \chi _{T}(T,H)=\left({\frac {\partial M}{\partial H}}\right)_{T}}

и

с ЧАС = Т ( С Т ) ЧАС . {\displaystyle c_{H}=T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{H}.}

Кроме того,

с М = + Т ( С Т ) М . {\displaystyle c_{M}=+T\left({\frac {\partial S}{\partial T}}\right)_{M}.}

Определения

Критические показатели и определяются в терминах поведения параметров порядка и функций отклика вблизи критической точки следующим образом: α , α , β , γ , γ {\displaystyle \альфа,\альфа ',\бета,\гамма,\гамма '} δ {\displaystyle \дельта}

М ( т , 0 ) ( т ) β  для  т 0 {\displaystyle M(t,0)\simeq (-t)^{\beta }{\mbox{ для }}t\uparrow 0}


М ( 0 , ЧАС ) | ЧАС | 1 / δ знак ( ЧАС )  для  ЧАС 0 {\displaystyle M(0,H)\simeq |H|^{1/\delta }\operatorname {знак} (H){\mbox{ для }}H\rightarrow 0}


χ Т ( т , 0 ) { ( т ) γ , для   т 0 ( т ) γ , для   т 0 {\displaystyle \chi _{T}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\gamma },&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\gamma '},&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}


с ЧАС ( т , 0 ) { ( т ) α для   т 0 ( т ) α для   т 0 {\displaystyle c_{H}(t,0)\simeq {\begin{cases}(t)^{-\alpha }&{\textrm {for}}\ t\downarrow 0\\(-t)^{-\alpha '}&{\textrm {for}}\ t\uparrow 0\end{cases}}}

где

т   = г е ф   Т Т с Т с {\displaystyle t\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {T-T_{c}}{T_{c}}}}

измеряет температуру относительно критической точки .

Вывод

Используя магнитный аналог соотношений Максвелла для функций отклика , соотношение

χ Т ( с ЧАС с М ) = Т ( М Т ) ЧАС 2 {\displaystyle \chi _{T}(c_{H}-c_{M})=T\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}}

следует, и с термодинамической устойчивостью, требующей, чтобы , можно иметь с ЧАС , с М  и  χ Т 0 {\displaystyle c_{H},c_{M}{\mbox{ и }}\chi _{T}\geq 0}

с ЧАС Т χ Т ( М Т ) ЧАС 2 {\displaystyle c_{H}\geq {\frac {T}{\chi _{T}}}\left({\frac {\partial M}{\partial T}}\right)_{H}^{2}}

что при условиях и определении критических показателей дает ЧАС = 0 , т > 0 {\displaystyle H=0,t>0}

( т ) α с о н с т а н т ( т ) γ ( т ) 2 ( β 1 ) {\displaystyle (-t)^{-\alpha '}\geq \mathrm {константа} \cdot (-t)^{\gamma '}(-t)^{2(\beta -1)}}

что дает неравенство Рашбрука

α + 2 β + γ 2. {\displaystyle \alpha '+2\beta +\gamma '\geq 2.}

Примечательно, что в эксперименте и в точно решенных моделях неравенство фактически выполняется как равенство.

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rushbrooke_inequality&oldid=1184804844"