Поле разрыва

В абстрактной алгебре поле разрыва многочлена над заданным полем — это расширение поля , порожденное корнем . [ ¹ ] ${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle К}$${\displaystyle К}$ ${\displaystyle а}$${\displaystyle P(X)}$

Например, если и то — поле разрыва для .${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$${\displaystyle P(X)=X^{3}-2}$${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$${\displaystyle P(X)}$

Понятие интересно в основном, если неприводимо над . В этом случае все поля разрыва над изоморфны , неканонически, : если где является корнем , то гомоморфизм колец , определенный для всех и является изоморфизмом . Кроме того, в этом случае степень расширения равна степени .${\displaystyle P(X)}$${\displaystyle К}$${\displaystyle P(X)}$${\displaystyle К}$${\displaystyle K_{P}=K[X]/(P(X))}$${\displaystyle L=K[a]}$${\displaystyle а}$${\displaystyle P(X)}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(k)=k}$${\displaystyle k\in K}$${\displaystyle f(X\mod P)=a}$${\displaystyle P}$

Поле разрыва многочлена не обязательно содержит все корни этого многочлена: в приведенном выше примере поле не содержит два других ( комплексных ) корня (а именно и где — примитивный кубический корень из единицы ). Для поля, содержащего все корни многочлена , см. Разделение поля .${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{2}}]}$${\displaystyle P(X)}$${\displaystyle \omega {\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle \omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}}}$${\displaystyle \омега}$

Поле разрыва более . Это также поле расщепления .${\displaystyle X^{2}+1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Поле разрыва над равно , поскольку нет элемента , квадрат которого равен (и все квадратичные расширения изоморфны ) .${\displaystyle X^{2}+1}$${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$