Элементарная матрица

В математике элементарная матрица — это квадратная матрица, полученная применением одной элементарной операции строки к единичной матрице . Элементарные матрицы порождают общую линейную группу GL _n ( F ), когда F — поле . Левое умножение (предумножение) на элементарную матрицу представляет собой элементарные операции строки , тогда как правое умножение (послеумножение) представляет собой элементарные операции столбца .

Элементарные операции над строками используются в методе Гаусса для приведения матрицы к ступенчатой ​​форме строк . Они также используются в методе Гаусса–Жордана для дальнейшего приведения матрицы к сокращенной ступенчатой ​​форме строк .

Существует три типа элементарных матриц, которые соответствуют трем типам операций над строками (соответственно, операций над столбцами):

Переключение рядов

Строку в матрице можно поменять местами с другой строкой.

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

Умножение строк

Каждый элемент в строке можно умножить на ненулевую константу. Это также известно как масштабирование строки.

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{где }}k\neq 0}$

Добавление строки

Строку можно заменить суммой этой строки и кратного ей числа другой строки.

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j}$

Если E — элементарная матрица, как описано ниже, то для применения элементарной операции строки к матрице A нужно умножить A на элементарную матрицу слева, EA . Элементарная матрица для любой операции строки получается путем выполнения операции над единичной матрицей . Этот факт можно понимать как пример леммы Йонеды, примененной к категории матриц. ^[1]

Первый тип операции строки над матрицей A меняет местами все элементы матрицы в строке i с их аналогами в другой строке j . Соответствующая элементарная матрица получается путем обмена строк i и j единичной матрицы .

${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Таким образом , T _i,j A — это матрица, полученная путем замены строки i на строку j матрицы A.

По коэффициентам матрица T _i,j определяется следующим образом:

${\displaystyle [T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}}$

• Обратная матрица этой матрицы сама по себе:${\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.}$
• Так как определитель единичной матрицы равен единице, то для любой квадратной матрицы A (правильного размера) имеем${\displaystyle \det(T_{i,j})=-1.}$${\displaystyle \det(T_{i,j}A)=-\det(A).}$
• Для теоретических соображений преобразование переключения строк может быть получено из преобразований сложения строк и умножения строк, представленных ниже, поскольку${\displaystyle T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).}$

Следующий тип операции строки над матрицей A умножает все элементы строки i на m , где m — ненулевой скаляр (обычно действительное число). Соответствующая элементарная матрица — диагональная матрица с диагональными элементами 1 везде, кроме позиции i , где это m .

${\displaystyle D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Итак, D _i ( m ) A — это матрица, полученная из A путем умножения строки i на m .

Коэффициентная матрица D _i ( m ) определяется следующим образом:

${\displaystyle [D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}}$

• Обратная матрица этой матрицы имеет вид${\displaystyle D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).}$
• Матрица и обратная ей матрица являются диагональными матрицами .
• ${\displaystyle \det(D_{i}(m))=m.}$Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) имеем${\displaystyle \det(D_{i}(m)A)=m\det(A).}$

Последний тип операции над строкой матрицы A добавляет строку j, умноженную на скаляр m, к строке i . Соответствующая элементарная матрица является единичной матрицей, но с m в позиции ( i, j ) .

${\displaystyle L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Таким образом, L _ij ( m ) A — это матрица, полученная из A путем добавления m раз строки j к строке i . А AL _ij ( m ) — это матрица, полученная из A путем добавления m раз столбца i к столбцу j .

По коэффициентам матрица L _i,j ( m ) определяется следующим образом:

${\displaystyle [L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}}$

• Эти преобразования представляют собой разновидность сдвигового отображения , также известного как трансвекция .
• Обратная матрица этой матрицы имеет вид${\displaystyle L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).}$
• Матрица и обратная ей являются треугольными матрицами .
• ${\displaystyle \det(L_{ij}(m))=1.}$Следовательно, для квадратной матрицы A (правильного размера) имеем${\displaystyle \det(L_{ij}(m)A)=\det(A).}$
• Преобразования сложения строк удовлетворяют соотношениям Стейнберга .

• Гауссово исключение
• Линейная алгебра
• Система линейных уравнений
• Матрица (математика)
• LU-разложение
• Матрица Фробениуса

• Экслер, Шелдон Джей (1997), Линейная алгебра, сделанная правильно (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, архивировано из оригинала 2009-10-31
• Перроне, Паоло (2024), Начальная теория категорий, World Scientific, doi :10.1142/9789811286018_0005, ISBN 978-981-12-8600-1
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: Современное введение (2-е изд.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
• Антон, Говард (2005), Элементарная линейная алгебра (версия приложений) (9-е изд.), Wiley International
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Pearson Prentice Hall
• Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-09802327-7-6