Единичный вектор
Вектор длины один

В математике единичный вектор в нормированном векторном пространстве — это вектор (часто пространственный вектор ) длины 1. Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с циркумфлексом , или «шляпкой», как в (произносится как «в-хэт»). в ^ {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}

Нормализованный вектор û ненулевого вектора u является единичным вектором в направлении u , т.е.

ты ^ = ты ‖ ты ‖ {\displaystyle \mathbf {\hat {u}} = {\frac {\mathbf {u} {\|\mathbf {u} \|}}}

где ‖ u ‖ — норма (или длина) u . [1] [2] Термин нормализованный вектор иногда используется как синоним единичного вектора .

Единичный вектор часто используется для представления направлений , таких как нормальные направления . Единичные векторы часто выбираются для формирования основы векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан в виде линейной комбинации единичных векторов.

Ортогональные координаты

Декартовы координаты

Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат . Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x , y и z трехмерной декартовой системы координат:

х ^ = [ 1 0 0 ] , у ^ = [ 0 1 0 ] , з ^ = [ 0 0 1 ] {\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {y}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {z}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}

Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемый стандартным базисом в линейной алгебре .

Они часто обозначаются с использованием общей векторной нотации (например, x или ), а не стандартной единичной векторной нотации (например, x̂ ). В большинстве контекстов можно предположить, что x , y , и z , (или и ) являются версорами трехмерной декартовой системы координат. Также используются нотации ( î , ĵ , k̂ ), ( x̂ 1 , x̂ 2 , x̂ 3 ), ( ê x , ê y , ê z ) или ( ê 1 , ê 2 , ê 3 ), с или без шляпы [1], особенно в контекстах, где i , j , k могут привести к путанице с другой величиной (например, с индексными символами, такими как i , j , k , которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных). x → {\displaystyle {\vec {x}}} x → , {\displaystyle {\vec {x}},} y → , {\displaystyle {\vec {y}},} z → {\displaystyle {\vec {z}}}

Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовой системе координат как линейная комбинация x , y , z , его три скалярных компонента можно назвать направляющими косинусами . Значение каждого компонента равно косинусу угла, образованного единичным вектором с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой линии, сегмента прямой линии, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси ( вектора ).

Цилиндрические координаты

Три ортогональных единичных вектора, соответствующих цилиндрической симметрии, следующие:

  • ρ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}} (также обозначается или ), представляющий направление, вдоль которого измеряется расстояние точки от оси симметрии; e ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} } s ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {s}}}}
  • φ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}} , представляющее направление движения, которое наблюдалось бы, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
  • z ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {z}} } , представляющая направление оси симметрии;

Они связаны с декартовым базисом следующим образом : x ^ {\displaystyle {\hat {x}}} y ^ {\displaystyle {\hat {y}}} z ^ {\displaystyle {\hat {z}}}

ρ ^ = cos ⁡ ( φ ) x ^ + sin ⁡ ( φ ) y ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }
φ ^ = − sin ⁡ ( φ ) x ^ + cos ⁡ ( φ ) y ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}} }
z ^ = z ^ . {\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}

Векторы и являются функциями и не являются постоянными по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах эти единичные векторы сами должны быть задействованы. Производные по имеют вид : ρ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}} φ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}} φ , {\displaystyle \varphi ,} φ {\displaystyle \varphi }

∂ ρ ^ ∂ φ = − sin ⁡ φ x ^ + cos ⁡ φ y ^ = φ ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂ φ ^ ∂ φ = − cos ⁡ φ x ^ − sin ⁡ φ y ^ = − ρ ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-{\boldsymbol {\hat {\rho }}}}
∂ z ^ ∂ φ = 0 . {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}

Сферические координаты

Единичные векторы, соответствующие сферической симметрии, следующие: , направление, в котором радиальное расстояние от начала координат увеличивается; , направление, в котором угол в плоскости x - y против часовой стрелки от положительной оси x увеличивается; и , направление, в котором угол от положительной оси z увеличивается. Чтобы минимизировать избыточность представлений, полярный угол обычно принимается лежащим между нулем и 180 градусами. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного триплета, записанного в сферических координатах , поскольку роли и часто меняются местами. Здесь используется американское «физическое» соглашение [3] . Это оставляет азимутальный угол определенным так же, как в цилиндрических координатах. Декартовы соотношения таковы: r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } φ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}} θ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}} θ {\displaystyle \theta } φ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}} θ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}} φ {\displaystyle \varphi }

r ^ = sin ⁡ θ cos ⁡ φ x ^ + sin ⁡ θ sin ⁡ φ y ^ + cos ⁡ θ z ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }
θ ^ = cos ⁡ θ cos ⁡ φ x ^ + cos ⁡ θ sin ⁡ φ y ^ − sin ⁡ θ z ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }
φ ^ = − sin ⁡ φ x ^ + cos ⁡ φ y ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }

Сферические единичные векторы зависят от обоих и , и, следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Для более полного описания см. Якобиева матрица и определитель . Ненулевые производные: φ {\displaystyle \varphi } θ {\displaystyle \theta }

∂ r ^ ∂ φ = − sin ⁡ θ sin ⁡ φ x ^ + sin ⁡ θ cos ⁡ φ y ^ = sin ⁡ θ φ ^ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂ r ^ ∂ θ = cos ⁡ θ cos ⁡ φ x ^ + cos ⁡ θ sin ⁡ φ y ^ − sin ⁡ θ z ^ = θ ^ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}
∂ θ ^ ∂ φ = − cos ⁡ θ sin ⁡ φ x ^ + cos ⁡ θ cos ⁡ φ y ^ = cos ⁡ θ φ ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}
∂ θ ^ ∂ θ = − sin ⁡ θ cos ⁡ φ x ^ − sin ⁡ θ sin ⁡ φ y ^ − cos ⁡ θ z ^ = − r ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }
∂ φ ^ ∂ φ = − cos ⁡ φ x ^ − sin ⁡ φ y ^ = − sin ⁡ θ r ^ − cos ⁡ θ θ ^ {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}

Общие единичные векторы

Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии : [4]

Единичный векторНоменклатураДиаграмма
Касательный вектор к кривой/линии потока t ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {t}} } "200px" "200px"

Для того чтобы выполнялись векторные уравнения углового движения, необходим нормальный вектор к плоскости, содержащий и определяемый вектором радиального положения и угловым тангенциальным направлением вращения . n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } r r ^ {\displaystyle r\mathbf {\hat {r}} } θ θ ^ {\displaystyle \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}

Нормаль к касательной плоскости поверхности/плоскости, содержащей радиальную составляющую положения и угловую тангенциальную составляющую n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }

В полярных координатах ; n ^ = r ^ × θ ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}

Бинормальный вектор к касательной и нормали b ^ = t ^ × n ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}} } [5]
Параллельно некоторой оси/линии e ^ ∥ {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }} "200px"

Один единичный вектор ориентирован параллельно главному направлению (красная линия), а перпендикулярный единичный вектор ориентирован в любом радиальном направлении относительно главной линии. e ^ ∥ {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }} e ^ ⊥ {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }}

Перпендикулярно некоторой оси/линии в некотором радиальном направлении e ^ ⊥ {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }}
Возможное угловое отклонение относительно некоторой оси/линии e ^ ∠ {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\angle }} "200px"

Единичный вектор под острым углом отклонения φ (включая 0 или π /2 рад) относительно главного направления.

Криволинейные координаты

В общем случае система координат может быть однозначно задана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов [1] (фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного 3-мерного пространства эти векторы могут быть обозначены . Почти всегда удобно определить систему как ортонормальную и правостороннюю : e ^ n {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}} e ^ 1 , e ^ 2 , e ^ 3 {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}

e ^ i ⋅ e ^ j = δ i j {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}}
e ^ i ⋅ ( e ^ j × e ^ k ) = ε i j k {\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}}

где — символ Кронекера (равный 1 для i = j и 0 в противном случае), а — символ Леви-Чивиты (равный 1 для перестановок, упорядоченных как ijk , и −1 для перестановок, упорядоченных как kji ). δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}}

Правый версор

Единичный вектор в был назван правым версором У. Р. Гамильтоном , когда он разработал свои кватернионы . Фактически, он был создателем термина вектор , поскольку каждый кватернион имеет скалярную часть s и векторную часть v . Если v является единичным вектором в , то квадрат v в кватернионах равен –1. Таким образом, по формуле Эйлера , является версором в 3-сфере . Когда θ является прямым углом , версор является правым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в . R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} H ⊂ R 4 {\displaystyle \mathbb {H} \subset \mathbb {R} ^{4}} q = s + v {\displaystyle q=s+v} R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} exp ⁡ ( θ v ) = cos ⁡ θ + v sin ⁡ θ {\displaystyle \exp(\theta v)=\cos \theta +v\sin \theta } R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

Таким образом, правые версоры расширяют понятие мнимых единиц, обнаруженных в комплексной плоскости , где правые версоры теперь охватывают 2-сферу, а не пару {i, –i} в комплексной плоскости. S 2 ⊂ R 3 ⊂ H {\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}\subset \mathbb {H} }

В более широком смысле, правый кватернион является действительным кратным правого версора.

Смотрите также

Найдите понятие единичного вектора в Викисловаре, бесплатном словаре.

Примечания

  1. ^ abc Weisstein, Eric W. "Единичный вектор". Wolfram MathWorld . Получено 2020-08-19 .
  2. ^ "Единичные векторы". Brilliant Math & Science Wiki . Получено 2020-08-19 .
  3. ^ Тевиан Дрей и Коринн А. Маног, Сферические координаты, College Math Journal 34, 168-169 (2003).
  4. ^ Ф. Айрес; Э. Мендельсон (2009). Исчисление (серия набросков Шаума) (5-е изд.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-150861-2.
  5. ^ MR Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Векторный анализ (серия Schaum's Outlines) (2-е изд.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

Ссылки

  • GB Arfken & HJ Weber (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Academic Press. ISBN 0-12-059825-6.
  • Шпигель, Мюррей Р. (1998). Очерки Шаума: Математический справочник формул и таблиц (2-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-038203-4.
  • Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Unit_vector&oldid=1244283561#Right_versor"