Функция гребня

В математике гребневая функция — это любая функция , которая может быть записана в виде композиции одномерной функции , называемой профильной функцией , с аффинным преобразованием , заданным вектором направления со сдвигом .${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} }$

Тогда гребневая функция имеет вид . ${\displaystyle f(x)=g(x^{\top }a+b)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$

Создание термина «гребневая функция» часто приписывается Б. Ф. Логану и Л. А. Шеппу. ^[1]

Функция гребня не подвержена проклятию размерности ^{[ необходимо разъяснение ]} , что делает ее инструментальным инструментом в различных задачах оценки. Это является прямым результатом того факта, что функции гребня постоянны в направлениях: Пусть будут независимыми векторами, ортогональными , такими, что эти векторы охватывают измерения. Тогда ${\displaystyle d-1}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{d-1}}$${\displaystyle d-1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle d-1}$

${\displaystyle f\left({\boldsymbol {x}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}{\boldsymbol {a}}_{k}\cdot {\boldsymbol {a}}\right)=g\left({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}}+\sum _{k=1}^{d-1}c_{k}0\right)=g({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {a}})=f({\boldsymbol {x}})}$

для всех . Другими словами, любой сдвиг в направлении, перпендикулярном , не изменяет значение .${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ,1\leq i<d}$${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$${\displaystyle f}$

Функции хребта играют важную роль в проецировании , обобщенных линейных моделях и в качестве функций активации в нейронных сетях . Обзор функций хребта см. в ^[2]. Книги о функциях хребта см. в ^{[3] [4].}